જો $g$ એ $f$ નો વ્યસ્ત હોય અને $f^{\prime}(x)=\frac{1}{1+x^{2}}$ હોય,તો $g^{\prime}(x)$ બરાબર શું થાય?

જો $f(x) = (x+1)^2 - 1$ જ્યાં $x \geq -1$ હોય,તો ગણ $\{x \mid f(x) = f^{-1}(x)\}$ શોધો.

નીચેનામાંથી કયું વિધેય વ્યસ્ત સંપન્ન (invertible) છે?

ધારો કે $f: X \rightarrow Y$ એક વ્યસ્ત સંપન્ન વિધેય છે. સાબિત કરો કે $f$ નો વ્યસ્ત વિધેય અનન્ય છે.
(સૂચન: ધારો કે $g_{1}$ અને $g_{2}$ એ $f$ ના બે વ્યસ્ત વિધેયો છે. તો દરેક $y \in Y$ માટે,$f \circ g_{1}(y) = I_{Y}(y) = f \circ g_{2}(y)$ થાય. $f$ ના એક-એક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.)

$f: R_{+} \rightarrow [4, \infty)$ ધ્યાનમાં લો,જે $f(x) = x^{2} + 4$ દ્વારા આપવામાં આવેલ છે. સાબિત કરો કે $f$ વ્યસ્ત છે અને $f$ નો વ્યસ્ત $f^{-1}(y) = \sqrt{y - 4}$ છે,જ્યાં $R_{+}$ એ તમામ અ-ઋણ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે.

વિધેય $y = 2x - 3$ નો વ્યસ્ત વિધેય શોધો.