यदि $f^{\prime}(x)=k(\cos x-\sin x)$,$f^{\prime}(0)=3$,और $f\left(\frac{\pi}{2}\right)=15$ है,तो $f(x)=$

यदि $f: R \rightarrow R$ को $f(x) = \begin{cases} \frac{x - 2}{x^2 - 3x + 2}, & x \in R - \{1, 2\} \\ 2, & x = 1 \\ 1, & x = 2 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित किया गया है,तो $\lim_{x \rightarrow 2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = $

मंगल ग्रह पर रहने वाले लोग,अवकलज की सामान्य परिभाषा $D f(x)$ के बजाय,एक नए प्रकार के अवकलज $D^*f(x)$ को इस सूत्र द्वारा परिभाषित करते हैं: $D^*f(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f^2(x + h) - f^2(x)}{h}$,जहाँ $f^2(x)$ का अर्थ $[f(x)]^2$ है। यदि $f(x) = x \ln x$ है,तो $\left. D^*f(x) \right|_{x = e}$ का मान क्या होगा?

मान लीजिए कि एक अवकलनीय फलन $f(x)$ सभी वास्तविक $x$ और $y$ के लिए सर्वसमिका $f(x+y) = f(x) + f(y) + xy^2 + x^2y$ को संतुष्ट करता है। यदि $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x} = 1$ है,तो $f'(3)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $y(\alpha)=\sqrt{2\left(\frac{\tan \alpha+\cot \alpha}{1+\tan ^{2} \alpha}\right)+\frac{1}{\sin ^{2} \alpha}}$ जहाँ $\alpha \in\left(\frac{3 \pi}{4}, \pi\right)$ है,तो $\alpha=\frac{5 \pi}{6}$ पर $\frac{d y}{d \alpha}$ ज्ञात कीजिए।

$\frac{d}{dx}(\sin 2x^2)$ का मान क्या है?