यदि int frac{d x}{sqrt[3]{sin ^{11} x cos x}} | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \frac{d x}{\sqrt[3]{\sin ^{11} x \cdot \cos x}}$.अंश और हर को $\cos^{\frac{12}{3}} x = \cos^4 x$ से विभाजित करने पर:$I = \int \frac

Vedclass · Accepted Answer

$f(x)=	an ^{\frac{-8}{3}} x, g(x)=	an ^{\frac{-2}{3}} x$,(जहाँ $c$ समाकलन का एक स्थिरांक है)

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int \frac{d x}{\sqrt[3]{\sin ^{11} x \cdot \cos x}}$.अंश और हर को $\cos^{\frac{12}{3}} x = \cos^4 x$ से विभाजित करने पर:$I = \int \frac{\sec^4 x}{	an^{\frac{11}{3}} x} d x$.$\sec^4 x = (1 + 	an^2 x) \sec^2 x$ का उपयोग करने पर:$I = \int \frac{(1 + 	an^2 x) \sec^2 x}{	an^{\frac{11}{3}} x} d x$.माना $	an x = t$,तो $\sec^2 x d x = d t$.$I = \int \frac{1 + t^2}{t^{\frac{11}{3}}} d t = \int (t^{-\frac{11}{3}} + t^{-\frac{5}{3}}) d t$.पद-दर-पद समाकलन करने पर:$I = \frac{t^{-\frac{8}{3}}}{-\frac{8}{3}} + \frac{t^{-\frac{2}{3}}}{-\frac{2}{3}} + c = -\left(\frac{3}{8} t^{-\frac{8}{3}} + \frac{3}{2} t^{-\frac{2}{3}}ight) + c$.$t = 	an x$ प्रतिस्थापित करने पर:$I = -\left(\frac{3}{8} 	an^{-\frac{8}{3}} x + \frac{3}{2} 	an^{-\frac{2}{3}} xight) + c$.दिए गए रूप से तुलना करने पर,हमें $f(x) = 	an^{-\frac{8}{3}} x$ और $g(x) = 	an^{-\frac{2}{3}} x$ प्राप्त होता है।

यदि $\int \frac{d x}{\sqrt[3]{\sin ^{11} x \cos x}}=-\left(\frac{3}{8} f(x)+\frac{3}{2} g(x)\right)+c$ है,तो:

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मान लीजिए $n \ge 2$ एक प्राकृतिक संख्या है और $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ है। तो $\int \frac{(\sin^n \theta - \sin \theta)^{\frac{1}{n}} \cos \theta}{\sin^{n+1} \theta} d\theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

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