int frac{log (x + sqrt {1 + x^2})}{sqrt {1 + | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \frac{\log (x + \sqrt {1 + x^2})}{\sqrt {1 + x^2}} \, dx$. $t = \log (x + \sqrt {1 + x^2})$ प्रतिस्थापित करें। दोनों पक्षों का $x$

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{2}[\log (x + \sqrt {1 + x^2})]^2 + c$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int \frac{\log (x + \sqrt {1 + x^2})}{\sqrt {1 + x^2}} \, dx$. $t = \log (x + \sqrt {1 + x^2})$ प्रतिस्थापित करें। दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dt}{dx} = \frac{1}{x + \sqrt {1 + x^2}} \cdot (1 + \frac{1}{2\sqrt {1 + x^2}} \cdot 2x) = \frac{1}{x + \sqrt {1 + x^2}} \cdot (1 + \frac{x}{\sqrt {1 + x^2}}) = \frac{1}{x + \sqrt {1 + x^2}} \cdot \frac{\sqrt {1 + x^2} + x}{\sqrt {1 + x^2}} = \frac{1}{\sqrt {1 + x^2}}$. अतः,$dt = \frac{dx}{\sqrt {1 + x^2}}$. इन मानों को समाकलन में रखने पर: $I = \int t \, dt = \frac{t^2}{2} + c$. $t$ का मूल मान वापस रखने पर: $I = \frac{1}{2}[\log (x + \sqrt {1 + x^2})]^2 + c$.

$\int \frac{\log (x + \sqrt {1 + x^2})}{\sqrt {1 + x^2}} \, dx = $

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