यदि int frac{sqrt{1-x^2}}{x^4} ~d x=A(x)left( | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $\int \frac{\sqrt{1-x^2}}{x^4} ~d x=A(x)\left(\sqrt{1-x^2}ight)^m+C$. माना $x=\cos 	heta$,तो $d x=-\sin 	heta d 	heta$. इन मानों

Vedclass · Accepted Answer

$-\frac{1}{27 x^9}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $\int \frac{\sqrt{1-x^2}}{x^4} ~d x=A(x)\left(\sqrt{1-x^2}ight)^m+C$. माना $x=\cos 	heta$,तो $d x=-\sin 	heta d 	heta$. इन मानों को समाकलन में रखने पर: $\int \frac{\sqrt{1-\cos ^2 	heta}}{\cos ^4 	heta} \cdot(-\sin 	heta d 	heta) = -\int \frac{\sin 	heta}{\cos ^4 	heta} \cdot \sin 	heta d 	heta = -\int 	an ^2 	heta \sec ^2 	heta d 	heta$. माना $u=	an 	heta$,तो $d u=\sec ^2 	heta d 	heta$. समाकलन $-\int u^2 d u = -\frac{u^3}{3}+C = -\frac{	an ^3 	heta}{3}+C$ हो जाता है। चूंकि $	an 	heta = \frac{\sqrt{1-\cos ^2 	heta}}{\cos 	heta} = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$,इसलिए: $-\frac{1}{3}\left(\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}ight)^3+C = -\frac{1}{3 x^3}\left(\sqrt{1-x^2}ight)^3+C$. इसकी तुलना $A(x)\left(\sqrt{1-x^2}ight)^m+C$ से करने पर,हमें $A(x)=-\frac{1}{3 x^3}$ और $m=3$ प्राप्त होता है। अतः,$(A(x))^m = \left(-\frac{1}{3 x^3}ight)^3 = -\frac{1}{27 x^9}$.

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