यदि int frac{2x+3}{(x-1)(x^2+1)} dx = log_e { | vedclass

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Question

(B) समाकलन $\int \frac{2x+3}{(x-1)(x^2+1)} dx$ को हल करने के लिए,हम आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हैं: $\frac{2x+3}{(x-1)(x^2+1)} = \frac{B}{x-1} + \fra

Vedclass · Accepted Answer

$-\frac{5}{4}$

Vedclass · Answer

(B) समाकलन $\int \frac{2x+3}{(x-1)(x^2+1)} dx$ को हल करने के लिए,हम आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हैं: $\frac{2x+3}{(x-1)(x^2+1)} = \frac{B}{x-1} + \frac{Cx+D}{x^2+1}$ $2x+3 = B(x^2+1) + (Cx+D)(x-1)$ $x=1$ रखने पर,हमें $2(1)+3 = B(1^2+1) \implies 5 = 2B \implies B = \frac{5}{2}$ प्राप्त होता है। $x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $0 = B+C \implies C = -B = -\frac{5}{2}$। अचर पदों की तुलना करने पर: $3 = B-D \implies D = B-3 = \frac{5}{2} - 3 = -\frac{1}{2}$। इस प्रकार,समाकलन $\int \left( \frac{5/2}{x-1} + \frac{-5/2x - 1/2}{x^2+1} ight) dx$ बन जाता है। $= \frac{5}{2} \int \frac{1}{x-1} dx - \frac{5}{4} \int \frac{2x}{x^2+1} dx - \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2+1} dx$ $= \frac{5}{2} \log_e |x-1| - \frac{5}{4} \log_e (x^2+1) - \frac{1}{2} 	an^{-1} x + A$ $= \log_e |x-1|^{\frac{5}{2}} + \log_e (x^2+1)^{-\frac{5}{4}} - \frac{1}{2} 	an^{-1} x + A$ $= \log_e \{(x-1)^{\frac{5}{2}}(x^2+1)^{-\frac{5}{4}}\} - \frac{1}{2} 	an^{-1} x + A$ दिए गए व्यंजक के साथ तुलना करने पर,हमें $a = -\frac{5}{4}$ प्राप्त होता है।

यदि $\int \frac{2x+3}{(x-1)(x^2+1)} dx = \log_e {(x-1)^{\frac{5}{2}}(x^2+1)^a} - \frac{1}{2} \tan^{-1} x + A$ जहाँ $A$ एक स्वेच्छ अचर है,तो $a$ का मान है

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$\int \frac{1}{\cos x} \left[ \frac{1}{\sin x} - \frac{1}{\sin x + 3 \cos x} \right] dx =$

$\int \frac{x+1}{x(1+x e^x)^2} \,d x=$ (जहाँ $C$ समाकलन का एक स्थिरांक है।)

यदि $\int \frac{dx}{x^4+5x^2+4} = A \tan^{-1} x + B \tan^{-1} \frac{x}{2} + c$,जहाँ $c$ समाकलन का एक स्थिरांक है,तो:

$\int_0^1 \frac{2 x+5}{x^2+3 x+2} \,d x=$

समाकलन ज्ञात कीजिए: $\int \frac{dx}{\sin x + \sin 2x}$

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