જો $y = \tan^{-1}\left(\frac{1}{1+x+x^2}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{1}{x^2+3x+3}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{1}{x^2+5x+7}\right)$ હોય,તો $y'(0)$ ની કિંમત શોધો.

સરવાળો $\sum\limits_{n = 1}^\infty {{\cot }^{ - 1}} \left( {\frac{{2\left( {\sum\limits_{k = 1}^n k } \right) - 1}}{3}} \right)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $E_1 = \{x \in R : x \neq 1 \text{ અને } \frac{x}{x-1} > 0\}$ અને $E_2 = \{x \in E_1 : \sin^{-1}(\log_e(\frac{x}{x-1})) \text{ એ વાસ્તવિક સંખ્યા છે}\}$. (અહીં,પ્રતિ-ત્રિકોણમિતીય વિધેય $\sin^{-1} x$ એ $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ માં કિંમતો ધારણ કરે છે). ધારો કે $f : E_1 \rightarrow R$ એ $f(x) = \log_e(\frac{x}{x-1})$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય છે અને $g : E_2 \rightarrow R$ એ $g(x) = \sin^{-1}(\log_e(\frac{x}{x-1}))$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય છે. $LIST I$ ની વસ્તુઓને $LIST II$ સાથે જોડો.

ધારો કે $f : R \to R$,$f(x) = \max\{|\tan^{-1}x|, \cot^{-1}x\}$. નીચેના વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
$I.$ વિધેય સતત અને વિકલનીય છે $\forall x \in R$.
$II.$ વિધેયનો વિસ્તાર $\left[ \frac{\pi}{4}, \pi \right]$ છે.
$III.$ $f(x)$ એ અનેક-એક અંતર્વ્યાપ્ત (many-one into) વિધેય છે.
સાચો વિકલ્પ ઓળખો.

જો આપણે પ્રતિ-ત્રિકોણમિતીય વિધેયોના માત્ર મુખ્ય મૂલ્યોને ધ્યાનમાં લઈએ,તો $\tan \left( \cos^{-1} \frac{1}{5\sqrt{2}} - \sin^{-1} \frac{4}{\sqrt{17}} \right)$ નું મૂલ્ય શું થાય?

$\left[\sin \left(\tan ^{-1} \frac{3}{4}\right)\right]^{2}+\left[\sin \left(\tan ^{-1} \frac{4}{3}\right)\right]^{2}=$