यदि $G(x) = -\sqrt{25-x^{2}}$ है,तो $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{G(x)-G(1)}{x-1}$ का मान क्या है?

फलन $f$ के ग्राफ में बिंदु $P(1, 2)$ और $Q(s, r)$ स्थित हैं। $P$ और $Q$ से गुजरने वाली छेदक रेखा (secant line) का समीकरण $y = \left( \frac{s^2 + 2s - 3}{s - 1} \right) x - 1 - s$ है। $f'(1)$ का मान ज्ञात कीजिए।

List-$I$ के फलनों को List-$II$ में दिए गए उनके अवकलजों के साथ सुमेलित कीजिए।

List-$I$	List-$II$
$A$. $\sec^{-1} x$	$I$. $\frac{1}{1-x^2}, x \in (-1, 1)$
$B$. $\tanh^{-1} x$	$II$. $\frac{-1}{|x| \sqrt{x^2+1}}, x \neq 0$
$C$. $\coth^{-1} x$	$III$. $\frac{1}{|x| \sqrt{x^2-1}}, |x| > 1$
$D$. $\operatorname{cosech}^{-1} x$	$IV$. $\frac{1}{1-x^2}, x \in R - [-1, 1]$
	$V$. $\frac{-1}{|x| \sqrt{1-x^2}}, |x| < 1, x \neq 0$

मान लीजिए $f: (-1, 1) \to R$ एक अवकलनीय फलन है जहाँ $f(0) = -1$ और $f'(0) = 1$ है। मान लीजिए $g(x) = [f(2f(x) + 2)]^2$ है। तो $g'(0) = $

$\log_e x$ के सापेक्ष ${e^{x^3}}$ का अवकलज क्या है?

$x > 0$ और $(x \log x) < 1$ के लिए, यदि $y = \cot^{-1} \left( \frac{x - \log x}{x^2 \log_e x^2 + \log x^x} \right)$, तो $\frac{dy}{dx} = \dots$