यदि $A$ कोटि $3$ का एक व्युत्क्रमणीय (non-singular) आव्यूह है,इस प्रकार कि $(A-2I)(A-4I)=0$,तो $\frac{1}{6}A + \frac{4}{3}A^{-1}$ का मान क्या है? (जहाँ $I$ कोटि $3$ का इकाई आव्यूह है और $0$ कोटि $3$ का शून्य आव्यूह है)।

मान लीजिए $M = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ और $N = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$ है। तो $N M^{10} N^{-1} =$

मान लीजिए कि $A$ एक गैर-शून्य आवर्ती आव्यूह (periodic matrix) है जिसका आवर्तकाल $4$ है और $A^{12} + B = I$,जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह (identity matrix) है और $B$,$A$ के समान क्रम का कोई भी वर्ग आव्यूह है। आव्यूह गुणनफल $AB$ किसके बराबर है?

माना कि $f(x)=\left|\begin{array}{ccc}1+\sin ^2 x & \cos ^2 x & \sin 2 x \\ \sin ^2 x & 1+\cos ^2 x & \sin 2 x \\ \sin ^2 x & \cos ^2 x & 1+\sin 2 x\end{array}\right|$,जहाँ $x \in\left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right]$ है। यदि $\alpha$ और $\beta$ क्रमशः $f(x)$ के अधिकतम और न्यूनतम मान हैं,तो:

यदि $A = \begin{bmatrix} \cos^2 \alpha & \cos \alpha \sin \alpha \\ \cos \alpha \sin \alpha & \sin^2 \alpha \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} \cos^2 \beta & \cos \beta \sin \beta \\ \cos \beta \sin \beta & \sin^2 \beta \end{bmatrix}$ दो ऐसे आव्यूह हैं कि उनका गुणनफल $AB$ एक शून्य आव्यूह है,तो $\alpha - \beta$ है:

माना $A = \begin{bmatrix} \alpha & -1 \\ 6 & \beta \end{bmatrix}$,$\alpha > 0$,इस प्रकार है कि $\operatorname{det}(A) = 0$ और $\alpha + \beta = 1$ है। यदि $I$ एक $2 \times 2$ तत्समक आव्यूह है,तो आव्यूह $(I + A)^8$ क्या होगा?