જો $A$ એ $3$ ક્રમનો નોન-સિંગ્યુલર શ્રેણિક હોય કે જેથી $(A-2I)(A-4I)=0$ થાય,તો $\frac{1}{6}A + \frac{4}{3}A^{-1}$ શું થાય? (જ્યાં $I$ એ $3$ ક્રમનો એકમ શ્રેણિક છે અને $0$ એ $3$ ક્રમનો શૂન્ય શ્રેણિક છે).

સમીકરણ $\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^3} + 1}&{{x^2}y}&{{x^2}z}\\{x{y^2}}&{{y^3} + 1}&{{y^2}z}\\{x{z^2}}&{y{z^2}}&{{z^3} + 1}\end{array}} \right| = 11$ ના ધન પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

જો $A$ અને $B$ એ $3$ ક્રમના ચોરસ શ્રેણિકો હોય કે જેથી $(A + B)(A - B) = A^2 - B^2$ થાય,તો $(ABA^{-1})^2$ ની કિંમત શું થાય?

જો $\begin{bmatrix} -1 & 2 & b \\ a & 5 & 6 \\ 3 & c & 7 \end{bmatrix}$ એ સંમિત શ્રેણિક હોય, તો $\begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix} =$

ધારો કે $a, b$ અને $c$ ત્રણ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે જે $\begin{bmatrix} a & b & c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 9 & 7 \\ 8 & 2 & 7 \\ 7 & 3 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ $(E)$ નું સમાધાન કરે છે.
$1.$ જો બિંદુ $P(a, b, c)$, $(E)$ ના સંદર્ભમાં, સમતલ $2x+y+z=1$ પર આવેલું હોય, તો $7a+b+c$ નું મૂલ્ય શોધો.
$(A) 0$ $(B) 12$ $(C) 7$ $(D) 6$
$2.$ ધારો કે $\omega$ એ $x^3-1=0$ નો ઉકેલ છે જ્યાં $\operatorname{Im}(\omega)>0$ છે. જો $a=2$ હોય અને $b$ તથા $c$ એ $(E)$ નું સમાધાન કરતા હોય, તો $\frac{3}{\omega^a}+\frac{1}{\omega^b}+\frac{3}{\omega^c}$ નું મૂલ્ય શોધો.
$(A) -2$ $(B) 2$ $(C) 3$ $(D) -3$
$3.$ ધારો કે $b=6$ છે, અને $a$ તથા $c$ એ $(E)$ નું સમાધાન કરે છે. જો $\alpha$ અને $\beta$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2+bx+c=0$ ના બીજ હોય, તો $\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}\right)^n$ નું મૂલ્ય શોધો.
$(A) 6$ $(B) 7$ $(C) \frac{6}{7}$ $(D) \infty$
પ્રશ્નો $1, 2$ અને $3$ ના જવાબ આપો.

ધારો કે $\alpha, \beta$ એ સમીકરણ $ax^2+bx+c=0$ ના બીજ છે, જ્યાં $a, b, c$ વાસ્તવિક છે. જો $s_n = \alpha^n + \beta^n$ અને $\left|\begin{array}{ccc}3 & 1+s_1 & 1+s_2 \\ 1+s_1 & 1+s_2 & 1+s_3 \\ 1+s_2 & 1+s_3 & 1+s_4\end{array}\right| = k \frac{(a+b+c)^2}{a^4}$ હોય, તો $k =$