यदि p_1, p_2, p_3 त्रिभुज ABC के शीर्षों A, B | vedclass

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Question

(A) हम जानते हैं कि त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} a p_1 = \frac{1}{2} b p_2 = \frac{1}{2} c p_3$ होता है। अतः,$p_1 = \frac{2\Delta}{a}$,$

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$\frac{1}{R}$

Vedclass · Answer

(A) हम जानते हैं कि त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} a p_1 = \frac{1}{2} b p_2 = \frac{1}{2} c p_3$ होता है। अतः,$p_1 = \frac{2\Delta}{a}$,$p_2 = \frac{2\Delta}{b}$,और $p_3 = \frac{2\Delta}{c}$। इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{\cos A}{p_1} + \frac{\cos B}{p_2} + \frac{\cos C}{p_3} = \frac{a \cos A}{2\Delta} + \frac{b \cos B}{2\Delta} + \frac{c \cos C}{2\Delta}$। ज्या नियम (sine rule) $a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,$c = 2R \sin C$ का उपयोग करने पर: $= \frac{2R \sin A \cos A + 2R \sin B \cos B + 2R \sin C \cos C}{2\Delta}$ $= \frac{R(\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C)}{2\Delta}$। किसी भी त्रिभुज में,$\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4 \sin A \sin B \sin C$ होता है। साथ ही,$\Delta = 2R^2 \sin A \sin B \sin C$,इसलिए $\sin A \sin B \sin C = \frac{\Delta}{2R^2}$। यह मान रखने पर: $= \frac{R(4 \cdot \frac{\Delta}{2R^2})}{2\Delta} = \frac{2R \Delta / R^2}{2\Delta} = \frac{1}{R}$।

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