જો $\bar{a} = \hat{i} - \hat{j}$,$\bar{b} = \hat{j} - \hat{k}$,અને $\bar{c} = \hat{k} - \hat{i}$ હોય,તો એકમ સદિશ $\bar{d}$ શોધો કે જેથી $\bar{a} \cdot \bar{d} = 0$ અને $[\bar{b} \bar{c} \bar{d}] = 0$ થાય.

જો $\overrightarrow{a} = \alpha \hat{i} + \beta \hat{j} + 3 \hat{k}$,$\overrightarrow{b} = -\beta \hat{i} - \alpha \hat{j} - \hat{k}$ અને $\overrightarrow{c} = \hat{i} - 2 \hat{j} - \hat{k}$ હોય,જેથી $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 1$ અને $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = -3$ થાય,તો $\frac{1}{3}((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c})$ ની કિંમત ............ છે.

ધારો કે $a = i - j$,$b = j - k$,$c = k - i$. જો $\hat{d}$ એ એકમ સદિશ હોય કે જેથી $a \cdot \hat{d} = 0$ અને $[b, c, \hat{d}] = 0$ થાય,તો $\hat{d}$ ની કિંમત શોધો.

જો $\bar{a}=a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k}, \bar{b}=b_1 \hat{i}+b_2 \hat{j}+b_3 \hat{k}$,અને $\bar{c}=c_1 \hat{i}+c_2 \hat{j}+c_3 \hat{k}$,અને $[3 \bar{a}+\bar{b} \quad 3 \bar{b}+\bar{c} \quad 3 \bar{c}+\bar{a}] = \lambda \begin{vmatrix} \bar{a} \cdot \hat{i} & \bar{a} \cdot \hat{j} & \bar{a} \cdot \hat{k} \\ \bar{b} \cdot \hat{i} & \bar{b} \cdot \hat{j} & \bar{b} \cdot \hat{k} \\ \bar{c} \cdot \hat{i} & \bar{c} \cdot \hat{j} & \bar{c} \cdot \hat{k} \end{vmatrix}$ હોય,તો $\lambda$ ની કિંમત શોધો.

સમાંતરબાજુ ફલક (parallelepiped) ની ત્રણ સંગામી ધાર $OA, OB, OC$ એ ત્રણ સદિશો $2i + j - k$,$i + 2j + 3k$ અને $-3i - j + k$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. તો આ રીતે બનતા ઘનનું ઘનફળ ઘન એકમમાં કેટલું થાય?

ધારો કે $\overrightarrow{OP} = \frac{\alpha-1}{\alpha} \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$\overrightarrow{OQ} = \hat{i} + \frac{\beta-1}{\beta} \hat{j} + \hat{k}$ અને $\overrightarrow{OR} = \hat{i} + \hat{j} + \frac{1}{2} \hat{k}$ ત્રણ સદિશો છે,જ્યાં $\alpha, \beta \in \mathbb{R} - \{0\}$ અને $O$ એ ઉગમબિંદુ દર્શાવે છે. જો $(\overrightarrow{OP} \times \overrightarrow{OQ}) \cdot \overrightarrow{OR} = 0$ હોય અને બિંદુ $(\alpha, \beta, 2)$ એ સમતલ $3x + 3y - z + l = 0$ પર આવેલું હોય,તો $l$ ની કિંમત શોધો.