જો $[(\overline{a}+2 \overline{b}+3 \overline{c}) \times(\overline{b}+2 \overline{c}+3 \overline{a})] \cdot(\overline{c}+2 \overline{a}+3 \overline{b})=54$ હોય,તો $[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]$ નું મૂલ્ય શોધો.

જો એક સમાંતર ફલક (parallelepiped) નું ઘનફળ,જેની સહ-અંતિમ ધાર સદિશો $\overrightarrow{a} = \hat{i} + \hat{j} + n\hat{k}$,$\overrightarrow{b} = 2\hat{i} + 4\hat{j} - n\hat{k}$ અને $\overrightarrow{c} = \hat{i} + n\hat{j} + 3\hat{k}$ $(n \geq 0)$ દ્વારા આપવામાં આવેલ છે,તે $158$ ઘન એકમ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

ધારો કે $\overrightarrow{PR}=3 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$ અને $\overrightarrow{SQ}=\hat{i}-3 \hat{j}-4 \hat{k}$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $PQRS$ ના વિકર્ણો છે અને $\overrightarrow{PT}=\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$ એ અન્ય સદિશ છે. તો સદિશો $\overrightarrow{PT}, \overrightarrow{PQ}$ અને $\overrightarrow{PS}$ દ્વારા નિર્ધારિત સમાંતરફલકનું ઘનફળ શોધો.

$\hat{i}+\alpha \hat{j}+\hat{k}$,$\hat{j}+\alpha \hat{k}$ અને $\alpha \hat{i}+\hat{k}$ દ્વારા બનતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ મહત્તમ થાય તે માટે $\alpha$ ની કિંમત શોધો.

જો $\hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}$ અને $\lambda \hat{i}+3 \hat{j}$ સમતલીય હોય, તો $\lambda$ ની કિંમત શોધો:

જો $a, b, c$ ભિન્ન અઋણ સંખ્યાઓ હોય અને સદિશો $a\hat{i} + a\hat{j} + c\hat{k}$, $\hat{i} + \hat{k}$, અને $c\hat{i} + c\hat{j} + b\hat{k}$ એક જ સમતલમાં આવેલા હોય, તો $c$ નું મૂલ્ય છે...