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Question

(C) सारणिक $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a & b & c \ b & c & a \ c & a & b \end{array} ight|$ है।प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:$\De

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$-1$

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(C) सारणिक $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a & b & c \ b & c & a \ c & a & b \end{array} ight|$ है।प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:$\Delta = a(cb - a^2) - b(b^2 - ca) + c(ab - c^2)$$= abc - a^3 - b^3 + abc + abc - c^3$$= 3abc - a^3 - b^3 - c^3$$= -(a^3 + b^3 + c^3 - 3abc)$.हम जानते हैं कि बीजीय सर्वसमिका: $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$ होती है।इस मान को हमारे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:$\Delta = -1 	imes (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$.इसे दिए गए रूप $k(a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - bc - ca - ab)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k = -1$ प्राप्त होता है।

यदि $\left| \begin{array}{ccc} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{array} \right| = k(a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - bc - ca - ab)$ है,तो $k =$

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