यदि $3X + 2Y = I$ और $2X - Y = O$ है,जहाँ $I$ और $O$ क्रमशः $3$ कोटि के इकाई और शून्य आव्यूह हैं,तो

समीकरणों $x + y = 10$,$2x + y = 18$ और $4x - 3y = 26$ का हल क्या है?

मान लीजिए $M = (a_{ij})$,$i, j \in \{1, 2, 3\}$,एक $3 \times 3$ आव्यूह है जहाँ यदि $j+1$,$i$ से विभाज्य है तो $a_{ij} = 1$,अन्यथा $a_{ij} = 0$ है। तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
$(A)$ $M$ व्युत्क्रमणीय है
$(B)$ एक शून्येतर स्तंभ आव्यूह $\begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix}$ का अस्तित्व है ताकि $M \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -a_1 \\ -a_2 \\ -a_3 \end{bmatrix}$
$(C)$ समुच्चय $\{X \in \mathbb{R}^3 : MX = 0, X \neq 0\}$ रिक्त नहीं है,जहाँ $0 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$
$(D)$ आव्यूह $(M - 2I)$ व्युत्क्रमणीय है,जहाँ $I$ एक $3 \times 3$ तत्समक आव्यूह है

मान लीजिए कि रैखिक समीकरणों के निकाय $4x + \lambda y + 2z = 0$,$2x - y + z = 0$,और $\mu x + 2y + 3z = 0$ (जहाँ $\lambda, \mu \in R$) का एक गैर-तुच्छ (non-trivial) हल है। तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों के निकाय को हल करें: $4x - 3y = 3$ और $3x - 5y = 7$.

यदि बिंदु $P(\alpha, \beta, \gamma)$ समतल $2x + y + z = 1$ पर स्थित है और $\begin{bmatrix} \alpha & \beta & \gamma \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 9 & 1 \\ 8 & 2 & 1 \\ 7 & 3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ है,तो $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = $