જો $A$ અને $B$ એ $3 \times 3$ કક્ષાના શ્રેણિકો હોય અને $|A|=5$,$|B|=3$ હોય,તો $|3AB|=$ . . . . . . .

જો $A = \begin{bmatrix} 0 & -\tan \frac{\alpha}{2} \\ \tan \frac{\alpha}{2} & 0 \end{bmatrix}$ અને $I$ એ $2$ કક્ષાનો એકમ શ્રેણિક હોય,તો સાબિત કરો કે $I+A = (I-A) \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}$.

ધારો કે શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 5 & 4 \\ 0 & 3 & 2 \end{bmatrix}$ અને $A^3 - 8A^2 + \alpha A + \beta I = O$ છે,તો ક્રમયુક્ત જોડ $(\alpha, \beta)$ શું છે?

ધારો કે $A=\begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ અને $P=\begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}, \theta > 0$. જો $B=P A P^T$,$C=P^T B^{10} P$ હોય અને $C$ ના વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો $\frac{m}{n}$ હોય,જ્યાં $\operatorname{gcd}(m, n)=1$,તો $m+n$ શોધો:

ધારો કે $A = [a_{ij}]$ એ $2$ કક્ષાનો ચોરસ શ્રેણિક છે જેના ઘટકો $0$ અથવા $1$ છે. ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે $A$ વ્યસ્ત શ્રેણિક છે. તો સંભાવના $P(E)$ શું છે?

ધારો કે $p$ એ એક બિન-શૂન્ય શ્રેણિક છે જેથી $I + p + p^2 + .... + p^n = O$ (જ્યાં $O$ એ શૂન્ય શ્રેણિક દર્શાવે છે અને $I$ એ એકમ શ્રેણિક દર્શાવે છે),તો $p^{-1} = $