यदि n एक विषम धनात्मक पूर्णांक है और (1+x+x^{ | vedclass

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Question

(D) दिया गया है,$(1+x+x^{2}+x^{3})^{n}=\sum_{r=0}^{3n} a_{r} x^{r}$ और $n$ एक विषम धनात्मक पूर्णांक है। $a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+\ldots-a_{3n}$ का मान

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(D) दिया गया है,$(1+x+x^{2}+x^{3})^{n}=\sum_{r=0}^{3n} a_{r} x^{r}$ और $n$ एक विषम धनात्मक पूर्णांक है। $a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+\ldots-a_{3n}$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम दिए गए विस्तार में $x = -1$ प्रतिस्थापित करते हैं। माना $f(x) = (1+x+x^{2}+x^{3})^{n} = \sum_{r=0}^{3n} a_{r} x^{r}$ है। $x = -1$ रखने पर: $f(-1) = a_{0} - a_{1} + a_{2} - a_{3} + \ldots - a_{3n}$। अब,$(1+x+x^{2}+x^{3})^{n}$ का उपयोग करके $f(-1)$ का मान ज्ञात करते हैं: $f(-1) = (1 + (-1) + (-1)^{2} + (-1)^{3})^{n}$ $f(-1) = (1 - 1 + 1 - 1)^{n}$ $f(-1) = (0)^{n}$। चूंकि $n$ एक विषम धनात्मक पूर्णांक है,इसलिए $0^{n} = 0$। अतः,$a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+\ldots-a_{3n} = 0$।

यदि $n$ एक विषम धनात्मक पूर्णांक है और $(1+x+x^{2}+x^{3})^{n}=\sum_{r=0}^{3n} a_{r} x^{r}$ है,तो $a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+\ldots-a_{3n}$ का मान क्या होगा?

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List-$I$ का List-$II$ के साथ सही मिलान है:

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