यदि $(1 + x + x^2)^n$ के विस्तार में $a_r$,$x^r$ का गुणांक है,तो $a_1 - 2a_2 + 3a_3 - \dots - 2n\,a_{2n} = $

माना $k \in N$ का न्यूनतम मान $p$ है, जिसके लिए $(1+x)^3 + (1+x)^4 + \dots + (1+x)^{99} + (1+kx)^{100}, x \neq 0$ में $x^3$ का गुणांक किसी $n \in N$ के लिए $(43n + \frac{101}{4}) ({}^{100}C_3)$ है। तो $p+n$ का मान ज्ञात कीजिए:

माना $M = 2^{30} - 2^{15} + 1$ है। जब $M^2$ को आधार $2$ में व्यक्त किया जाता है,तो इसके बाइनरी निरूपण में $1$ की संख्या क्या होगी?

मान लीजिए कि $(\sqrt{2}+\sqrt[3]{3})^{6144}$ के विस्तार में परिमेय पदों की संख्या $K$ है। यदि $\frac{1}{(1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)(1+x^{16})}$ के विस्तार में $x^{P} \quad(P \in N)$ का गुणांक $\alpha_{P}$ है,तो $\alpha_{K}-\alpha_{K+1}-\alpha_{K-1}=$

यदि गुणनफल $(1+x+x^{2}+\ldots+x^{2n})(1-x+x^{2}-x^{3}+\ldots+x^{2n})$ में $x$ की सभी सम घातों के गुणांकों का योग $61$ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $(ax^{2}+bx+c)(1-2x)^{26}$ के विस्तार में $x$ का गुणांक $-56$ है और $x^{2}$ तथा $x^{3}$ के गुणांक शून्य हैं, तो $a+b+c$ का मान ज्ञात कीजिए: