यदि $A$ और $B$ समान कोटि के दो वर्ग आव्यूह इस प्रकार हैं कि $AB = B$ और $BA = A$,तो $A^{2} + B^{2}$ हमेशा किसके बराबर है?

मान लीजिए कि $A$, $B$ और $C$ वास्तविक प्रविष्टियों वाले तीन $2 \times 2$ आव्यूह हैं, जैसे कि $B = (I + A)^{-1}$ और $A + C = I$ है। यदि $BC = \begin{bmatrix} 1 & -5 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$ और $CB \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 \\ -6 \end{bmatrix}$ है, तो $x_1 + x_2$ का मान ज्ञात कीजिए।

$A=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right] \Rightarrow A^2-2 A=$

मान लीजिए $P=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & 0 \\ 16 & 4 & 1 \end{bmatrix}$ और $I$ कोटि $3$ का तत्समक आव्यूह है। यदि $Q=[q_{ij}]$ एक ऐसा आव्यूह है कि $P^{50}-Q=I$,तो $\frac{q_{31}+q_{32}}{q_{21}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\alpha = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}$ है,तो सारणिक $\left| \begin{array}{ccc} 1 & \alpha & \alpha^2 \\ \alpha^2 & 1 & \alpha \\ \alpha & \alpha^2 & 1 \end{array} \right|$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 5 & \sin^2 \theta & \cos^2 \theta \\ -\sin^2 \theta & -5 & 1 \\ \cos^2 \theta & 1 & 5 \end{bmatrix}$ है। तो $\det(A)$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए।