यदि f(x) = begin{cases} frac{log_{e} x}{x-1} | vedclass

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Question

(A) किसी फलन $f(x)$ के $x=a$ पर सतत होने के लिए,सीमा $\lim_{x 	o a} f(x)$ का अस्तित्व होना चाहिए और यह $f(a)$ के बराबर होनी चाहिए।यहाँ $f(x) = \frac{

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(A) किसी फलन $f(x)$ के $x=a$ पर सतत होने के लिए,सीमा $\lim_{x 	o a} f(x)$ का अस्तित्व होना चाहिए और यह $f(a)$ के बराबर होनी चाहिए।यहाँ $f(x) = \frac{\log_{e} x}{x-1}$ जब $x 
eq 1$ और $f(1) = k$ दिया गया है।हमें $\lim_{x 	o 1} \frac{\log_{e} x}{x-1}$ का मान ज्ञात करना है।चूंकि यह $\frac{0}{0}$ अनिर्धारित रूप है,हम ला-हॉस्पिटल नियम ($L$'$H$ôpital's Rule) का उपयोग करेंगे:$\lim_{x 	o 1} \frac{\frac{d}{dx}(\log_{e} x)}{\frac{d}{dx}(x-1)} = \lim_{x 	o 1} \frac{1/x}{1} = \frac{1}{1} = 1$.चूंकि फलन $x=1$ पर सतत है,इसलिए $k = \lim_{x 	o 1} f(x) = 1$ होगा।

यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{\log_{e} x}{x-1} & x \neq 1 \\ k & x=1 \end{cases}$ बिंदु $x=1$ पर सतत है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

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फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{x+5}{x-2}, & \text{यदि } x \neq 2 \\ 1, & \text{यदि } x=2 \end{cases}$ पर विचार करें। तब,$f(f(x))$ असंतत है

यदि $f(x) = \begin{cases} 3 + x; & x \geqslant 0 \\ 2 - 3x; & x < 0 \end{cases}$ है,तो $\lim_{x \to 0} f(f(x))$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} 0, & \text{यदि } -1 \leq x < 0 \\ 1, & \text{यदि } x = 0 \\ 2, & \text{यदि } 0 < x \leq 1 \end{cases}$ और मान लीजिए $F(x) = \int_{-1}^{x} f(t) \, dt, -1 \leq x \leq 1$. तो:

मान लीजिए कि फलन $f$ समीकरण $f(x) = \begin{cases} 3x & \text{if } 0 \le x \le 1 \\ 5 - 3x & \text{if } 1 < x \le 2 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित है,तो:

दिया गया है $f(x) = \begin{cases} cx + 1, & x \leq 3 \\ dx + 3, & x > 3 \end{cases}$। यदि $f$,$x = 3$ पर सतत है,तो $d - c =$ . . . . . . ।

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