જો $A$ અને $B$ બે નિશ્ચિત બિંદુઓ હોય અને $P$ એવું ચલ બિંદુ હોય કે જેથી $PA + PB = 4$ થાય,તો $P$ નો બિંદુપથ શું છે?

$k>0$ માટે,ઉપવલય $9x^2+4y^2-18x+16y-11=0$ પરના બિંદુ $P(1, k)$ થી તેના કોઈ એક નિયામિકા (directrix) નું લઘુત્તમ અંતર કેટલું થાય?

શંકુ $4x^2 + 16y^2 - 24x - 3y = 1$ ની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) શોધો.

ધારો કે $S_{1}: x^{2}+y^{2}=9$ અને $S_{2}:(x-2)^{2}+y^{2}=1$ છે. તો એક ચલ વર્તુળ $S$ ના કેન્દ્રનો બિંદુપથ,જે $S_{1}$ ને અંદરથી અને $S_{2}$ ને બહારથી સ્પર્શે છે,તે હંમેશા કયા બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે:

ઉપવલયો $E_{k}: kx^{2} + k^{2}y^{2} = 1$ ધ્યાનમાં લો,જ્યાં $k = 1, 2, \ldots, 20$. ધારો કે $C_{k}$ એ વર્તુળ છે જે ઉપવલય $E_{k}$ ના અંતિમ બિંદુઓને (એક ગૌણ અક્ષ પર અને બીજું મુખ્ય અક્ષ પર) જોડતી ચાર જીવાઓને સ્પર્શે છે. જો $r_{k}$ એ વર્તુળ $C_{k}$ ની ત્રિજ્યા હોય,તો $\sum_{k=1}^{20} \frac{1}{r_{k}^{2}}$ નું મૂલ્ય $.......$ છે.

ઉપવલય $x^2+2y^2=2$ ને દોરેલા સ્પર્શકો દ્વારા યામ અક્ષો પર કપાતા ભાગના મધ્યબિંદુઓનો બિંદુપથ શોધો.