જો $\alpha = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}$ હોય,તો નિશ્ચાયક $\left| \begin{array}{ccc} 1 & \alpha & \alpha^2 \\ \alpha^2 & 1 & \alpha \\ \alpha & \alpha^2 & 1 \end{array} \right|$ નું મૂલ્ય શોધો.

જો $A = \begin{bmatrix} p & q & r \\ r & p & q \\ q & r & p \end{bmatrix}$ અને $A A^T = I$ હોય,તો $p^3 + q^3 + r^3 =$ . . . . . .

માત્ર $0$ અથવા $1$ ઘટકો ધરાવતા $2 \times 2$ ક્રમના તમામ નિશ્ચાયકોના ગણમાંથી એક નિશ્ચાયક યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. પસંદ કરેલ નિશ્ચાયક શૂન્યતર હોય તેની સંભાવના કેટલી છે?

જો $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ અને $\det(A^n - I) = 1 - \lambda^n$ જ્યાં $n \in N$ હોય,તો $\lambda$ ની કિંમત શોધો.

જો $\alpha , \beta \neq 0$ અને $f(n) = \alpha^n + \beta^n$ અને $\begin{vmatrix} 3 & 1 + f(1) & 1 + f(2) \\ 1 + f(1) & 1 + f(2) & 1 + f(3) \\ 1 + f(2) & 1 + f(3) & 1 + f(4) \end{vmatrix} = K(1 - \alpha)^2 (1 - \beta)^2 (\alpha - \beta)^2$ હોય,તો $K = \dots$

ધારો કે $A$ અને $B$ બે $3 \times 3$ નોન-સિંગ્યુલર શ્રેણિકો છે, જેથી $\operatorname{det}(A^T B A) = 27$ અને $\operatorname{det}(A B^{-1}) = 8$ થાય. તો $\operatorname{det}(B^T A^{-1} B) = $