यदि $z = x + iy$ और $x^2 + y^2 = 1$ है,तो $\frac{1 + x + iy}{1 + x - iy} = $

मान लीजिए $z_1, z_2$ और $z_3$ वृत्त $|z|=1$ पर तीन सम्मिश्र संख्याएँ हैं,जहाँ $\arg(z_1) = \frac{-\pi}{4}, \arg(z_2) = 0$ और $\arg(z_3) = \frac{\pi}{4}$ है। यदि $|z_1 \bar{z}_2 + z_2 \bar{z}_3 + z_3 \bar{z}_1|^2 = \alpha + \beta \sqrt{2}$,जहाँ $\alpha, \beta \in \mathbb{Z}$,तो $\alpha^2 + \beta^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

सम्मिश्र संख्याएँ $\sin x + i \cos 2x$ और $\cos x - i \sin 2x$ एक-दूसरे की संयुग्मी (conjugate) हैं,तो

$(r, \theta)$ का अर्थ $r(\cos \theta + i \sin \theta)$ है। यदि $x = (1, \alpha)$,$y = (1, \beta)$,$z = (1, \gamma)$ और $x + y + z = 0$ है,तो $\sum \cos (2\alpha - \beta - \gamma) = $

$\theta \in[-\pi, 2 \pi]$ के उन सभी संभावित मानों का योग, जिनके लिए $\frac{1+i \cos \theta}{1-2 i \cos \theta}$ शुद्ध काल्पनिक है, बराबर है ($\pi$ में)

यदि $x=p+q$,$y=p \omega+q \omega^2$ और $z=p \omega^2+q \omega$ है,जहाँ $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है,तो $xyz$ का मान क्या होगा?