यदि f: R rightarrow R को f(x) = begin{cases} | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि $f(x) = \begin{cases} \frac{\cos 3x - \cos x}{x^2}, & 	ext{for } x 
eq 0 \ \lambda, & 	ext{for } x = 0 \end{cases}$ है।चूंकि $f

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$-4$

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(B) दिया गया है कि $f(x) = \begin{cases} \frac{\cos 3x - \cos x}{x^2}, & 	ext{for } x 
eq 0 \ \lambda, & 	ext{for } x = 0 \end{cases}$ है।चूंकि $f(x)$,$x = 0$ पर सतत है,इसलिए $\lim_{x ightarrow 0} f(x) = f(0) = \lambda$ होना चाहिए।सूत्र $\cos C - \cos D = -2 \sin \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2}$ का उपयोग करके सीमा का मूल्यांकन करने पर:$\lim_{x ightarrow 0} \frac{\cos 3x - \cos x}{x^2} = \lim_{x ightarrow 0} \frac{-2 \sin \frac{3x+x}{2} \sin \frac{3x-x}{2}}{x^2} = \lim_{x ightarrow 0} \frac{-2 \sin 2x \sin x}{x^2}$.मानक सीमा $\lim_{	heta ightarrow 0} \frac{\sin 	heta}{	heta} = 1$ का उपयोग करने पर:$\lim_{x ightarrow 0} -2 \left( \frac{\sin 2x}{x} ight) \left( \frac{\sin x}{x} ight) = -2 	imes 2 	imes 1 = -4$.अतः,$\lambda = -4$।

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