यदि A=left[begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 1 & 1 | vedclass

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Question

(A) हमें आव्यूह $A, B, C$ दिए गए हैं। हमें व्यंजक $X = \left(\left(\left((A B C)^{-1}\right)^T\right)^{-1}\right)^T$ का मान ज्ञात करना है।आव्यूह के पर

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$\left[\begin{array}{ccc}64 & 39 & 28 \ 29 & 16 & 11 \ 11 & 2 & 5\end{array}ight]$

Vedclass · Answer

(A) हमें आव्यूह $A, B, C$ दिए गए हैं। हमें व्यंजक $X = \left(\left(\left((A B C)^{-1}ight)^Tight)^{-1}ight)^T$ का मान ज्ञात करना है।आव्यूह के परिवर्त (transpose) और व्युत्क्रम (inverse) के गुणों का उपयोग करते हुए: $(P Q)^{-1} = Q^{-1} P^{-1}$,$(P^T)^{-1} = (P^{-1})^T$,और $(P^T)^T = P$.सबसे पहले,$(A B C)^{-1} = C^{-1} B^{-1} A^{-1}$.फिर,$((A B C)^{-1})^T = (C^{-1} B^{-1} A^{-1})^T = (A^{-1})^T (B^{-1})^T (C^{-1})^T = (A^T)^{-1} (B^T)^{-1} (C^T)^{-1}$.आगे,$(((A B C)^{-1})^T)^{-1} = ((A^T)^{-1} (B^T)^{-1} (C^T)^{-1})^{-1} = ((C^T)^{-1})^{-1} ((B^T)^{-1})^{-1} ((A^T)^{-1})^{-1} = C^T B^T A^T$.अंत में,$X = (C^T B^T A^T)^T = (A^T)^T (B^T)^T (C^T)^T = A B C$.अब,$AB$ की गणना करें:$AB = \left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \ 1 & 1 & 1 \ 1 & -1 & 1\end{array}ight] \left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \ 0 & 1 & 3 \ 3 & 0 & 4\end{array}ight] = \left[\begin{array}{ccc}10 & 3 & 18 \ 4 & 2 & 7 \ 4 & 0 & 1\end{array}ight]$.अब,$(AB)C$ की गणना करें:$(AB)C = \left[\begin{array}{ccc}10 & 3 & 18 \ 4 & 2 & 7 \ 4 & 0 & 1\end{array}ight] \left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 1 \ 0 & 1 & 0 \ 3 & 2 & 1\end{array}ight] = \left[\begin{array}{ccc}64 & 39 & 28 \ 29 & 16 & 11 \ 11 & 2 & 5\end{array}ight]$.

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यदि $A$ और $B$ दो ऐसे आव्यूह हैं कि $AB = B$ और $BA = A$, तो $A^{2} + B^{2}$ का मान क्या होगा?

यदि ${U_n} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}n&1&5\\{{n^2}}&{2N + 1}&{2N + 1}\\{{n^3}}&{3{N^2}}&{3N}\end{array}} \right|$ है,तो $\sum\limits_{n = 1}^N {{U_n}} $ का मान ज्ञात कीजिए।

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