यदि ${U_n} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}n&1&5\\{{n^2}}&{2N + 1}&{2N + 1}\\{{n^3}}&{3{N^2}}&{3N}\end{array}} \right|$ है,तो $\sum\limits_{n = 1}^N {{U_n}} $ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $A$ और $B$ समान कोटि के दो व्युत्क्रमणीय आव्यूह हैं,तो $adj \,(AB)$ किसके बराबर है :-

मान लीजिए $S = \left\{ \begin{bmatrix} -1 & a \\ 0 & b \end{bmatrix} : a, b \in \{1, 2, 3, \ldots, 100\} \right\}$ और मान लीजिए $T_n = \{A \in S : A^{n(n+1)} = I\}$ है। तो $\bigcap_{n=1}^{100} T_n$ में अवयवों की संख्या ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 2 & b & 1 \\ b & b^2+1 & b \\ 1 & b & 2 \end{bmatrix}$ जहाँ $b > 0$ है। तो $\frac{\det(A)}{b}$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $A$ और $B$ कोई दो $n \times n$ आव्यूह हैं ताकि निम्नलिखित शर्तें पूरी हों: $A B=B A$ और ऐसे धनात्मक पूर्णांक $k$ और $l$ मौजूद हैं कि $A^k=I$ (तत्समक आव्यूह) और $B^l=0$ (शून्य आव्यूह)। तो,

मान लीजिए $B=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 1\end{array}\right]$ और $A$ एक $2 \times 2$ आव्यूह है जो $\left(A^T\right)^{-1}=A$ को संतुष्ट करता है। यदि $X=A B A^T$ है, तो $A^T X^{2021} A=$