मान लीजिए $S = \left\{ \begin{bmatrix} -1 & a \\ 0 & b \end{bmatrix} : a, b \in \{1, 2, 3, \ldots, 100\} \right\}$ और मान लीजिए $T_n = \{A \in S : A^{n(n+1)} = I\}$ है। तो $\bigcap_{n=1}^{100} T_n$ में अवयवों की संख्या ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\alpha \beta \gamma = 45$; $\alpha, \beta, \gamma \in R$ है। यदि कुछ $x, y, z \in R$ के लिए $x(\alpha, 1, 2) + y(1, \beta, 2) + z(2, 3, \gamma) = (0, 0, 0)$ है और $xyz \neq 0$ है,तो $6\alpha + 4\beta + \gamma$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $A$ एक गैर-शून्य आवर्ती आव्यूह (periodic matrix) है जिसका आवर्तकाल $4$ है और $A^{12} + B = I$,जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह (identity matrix) है और $B$,$A$ के समान क्रम का कोई भी वर्ग आव्यूह है। आव्यूह गुणनफल $AB$ किसके बराबर है?

माना $x \in R$ और $P = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$,$Q = \begin{bmatrix} 2 & x & x \\ 0 & 4 & 0 \\ x & x & 6 \end{bmatrix}$ और $R = PQP^{-1}$ है। तो निम्नलिखित में से कौन सा/से विकल्प सही है/हैं?
$(1)$ $x = 1$ के लिए,एक ऐसा इकाई सदिश $\alpha \hat{i} + \beta \hat{j} + \gamma \hat{k}$ मौजूद है जिसके लिए $R \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ है।
$(2)$ एक ऐसी वास्तविक संख्या $x$ मौजूद है जिसके लिए $PQ = QP$ है।
$(3)$ $\det R = \det \begin{bmatrix} 2 & x & x \\ 0 & 4 & 0 \\ x & x & 5 \end{bmatrix} + 8$,सभी $x \in R$ के लिए।
$(4)$ $x = 0$ के लिए,यदि $R \begin{bmatrix} 1 \\ a \\ b \end{bmatrix} = 6 \begin{bmatrix} 1 \\ a \\ b \end{bmatrix}$ है,तो $a + b = 5$ है।

मान लीजिए $A$ एक ऐसा आव्यूह है कि $A \cdot \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$ एक अदिश आव्यूह (scalar matrix) है और $|3A| = 108$ है। तो $A^2$ किसके बराबर है?

निम्नलिखित गणितीय कथनों को ध्यानपूर्वक पढ़ें:
$I$. ऐसे दो त्रिभुज हो सकते हैं कि एक त्रिभुज की सभी भुजाएँ $1 \text{ cm}$ से कम हों जबकि दूसरे त्रिभुज की सभी भुजाएँ $10 \text{ m}$ से बड़ी हों,लेकिन पहले त्रिभुज का क्षेत्रफल दूसरे त्रिभुज के क्षेत्रफल से अधिक हो।
$II$. यदि $x, y, z$ सभी अलग-अलग वास्तविक संख्याएँ हैं,तो $\frac{1}{(x - y)^2} + \frac{1}{(y - z)^2} + \frac{1}{(z - x)^2} = \left( \frac{1}{x - y} + \frac{1}{y - z} + \frac{1}{z - x} \right)^2$.
$III$. $\log_3 x \cdot \log_4 x \cdot \log_5 x = (\log_3 x \cdot \log_4 x) + (\log_4 x \cdot \log_5 x) + (\log_5 x \cdot \log_3 x)$ केवल $x$ के एक वास्तविक मान के लिए सत्य है।
$IV$. एक आव्यूह में $12$ अवयव हैं। इसकी संभावित कोटियों की संख्या $6$ है। अब सही विकल्प इंगित करें।