माना x in R और P = begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $R = PQP^{-1}$।$\det(R) = \det(PQP^{-1}) = \det(P) \det(Q) \det(P^{-1}) = \det(Q)$।$\det(Q) = 2(24 - 0) - x(0 - 0) + x(0 - 4x) = 48 -

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$3, 4$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $R = PQP^{-1}$।$\det(R) = \det(PQP^{-1}) = \det(P) \det(Q) \det(P^{-1}) = \det(Q)$।$\det(Q) = 2(24 - 0) - x(0 - 0) + x(0 - 4x) = 48 - 4x^2$।विकल्प $(1)$: $x = 1$ के लिए,$\det(R) = 48 - 4(1)^2 = 44 
eq 0$। चूंकि $\det(R) 
eq 0$,समीकरण $R \begin{bmatrix} \alpha \ \beta \ \gamma \end{bmatrix} = \mathbf{0}$ का केवल तुच्छ हल $\alpha = \beta = \gamma = 0$ है। इकाई सदिश के लिए $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 1$ होना चाहिए,जो असंभव है। अतः,$(1)$ गलत है।विकल्प $(2)$: $PQ = QP \iff PQP^{-1} = Q \iff R = Q$। इसका अर्थ है $PQP^{-1} = Q$। इस विशिष्ट $P$ के लिए,$R$ किसी भी $x$ के लिए $Q$ के बराबर नहीं है। अतः,$(2)$ गलत है।विकल्प $(3)$: $\det \begin{bmatrix} 2 & x & x \ 0 & 4 & 0 \ x & x & 5 \end{bmatrix} + 8 = [2(20 - 0) - x(0 - 0) + x(0 - 4x)] + 8 = (40 - 4x^2) + 8 = 48 - 4x^2 = \det(R)$। अतः,$(3)$ सही है।विकल्प $(4)$: $x = 0$ के लिए,$Q = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \ 0 & 4 & 0 \ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix}$ और $P = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \ 0 & 2 & 2 \ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$। $P^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -1/2 & 0 \ 0 & 1/2 & -1/3 \ 0 & 0 & 1/3 \end{bmatrix}$।$R = PQP^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 2/3 \ 0 & 4 & 4/3 \ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix}$।$(R - 6I) \begin{bmatrix} 1 \ a \ b \end{bmatrix} = 0$ को हल करने पर $\begin{bmatrix} -4 & 1 & 2/3 \ 0 & -2 & 4/3 \ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \ a \ b \end{bmatrix} = 0$ प्राप्त होता है।$-2a + 4b/3 = 0 \implies a = 2b/3$। $-4 + a + 2b/3 = 0 \implies -4 + 2b/3 + 2b/3 = 0 \implies 4b/3 = 4 \implies b = 3, a = 2$।$a + b = 2 + 3 = 5$। अतः,$(4)$ सही है।

$List-I$	$List-II$
$(P)$ $T$ में सभी प्रविष्टियों वाले $M=(a_{ij})_{3 \times 3}$ आव्यूहों की संख्या ताकि सभी $i, j$ के लिए $R_i=C_j=0$ हो	$(1)$ $1$
$(Q)$ $T$ में सभी प्रविष्टियों वाले सममित आव्यूहों $M=(a_{ij})_{3 \times 3}$ की संख्या ताकि सभी $j$ के लिए $C_j=0$ हो	$(2)$ $2$
$(R)$ मान लीजिए $M=(a_{ij})_{3 \times 3}$ एक विषम-सममित आव्यूह है ताकि $i>j$ के लिए $a_{ij} \in T$ हो। तो समुच्चय $\{\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}: x, y, z \in \mathbb{R}, M\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_{12} \\ 0 \\ -a_{23} \end{bmatrix}\}$ में तत्वों की संख्या है	$(3)$ $\text{अनंत}$
$(S)$ मान लीजिए $M=(a_{ij})_{3 \times 3}$ एक आव्यूह है जिसकी सभी प्रविष्टियाँ $T$ में हैं ताकि सभी $i$ के लिए $R_i=0$ हो। तो $M$ के सारणिक का निरपेक्ष मान है	$(4)$ $6$
	$(5)$ $0$

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