यदि $A$,$B$,और $C$ क्रम $3$ के वर्ग आव्यूह हैं,जहाँ $A = \begin{bmatrix} x & 0 & 1 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & z \end{bmatrix}$ और $|B| = 36$,$|C| = 4$,$(x, y, z \in \mathbb{N})$ तथा $|ABC| = 1152$ है,तो $x + y + z$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $P=\left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]$,$A=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right]$ और $Q=PAP^{T}$ है। यदि $P^{T}Q^{2007}P=\left[\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right]$ है,तो $2a+b-3c-4d$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $z = \begin{bmatrix} 1 & 1+2i & -5i \\ 1-2i & -3 & 5+3i \\ 5i & 5-3i & 7 \end{bmatrix}$ है, तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है? (जहाँ $i = \sqrt{-1}$)

मान लीजिए $M=\begin{bmatrix} \sin^4 \theta & -1-\sin^2 \theta \\ 1+\cos^2 \theta & \cos^4 \theta \end{bmatrix} = \alpha I + \beta M^{-1}$,जहाँ $\alpha = \alpha(\theta)$ और $\beta = \beta(\theta)$ वास्तविक संख्याएँ हैं,और $I$ एक $2 \times 2$ तत्समक आव्यूह है। यदि $\alpha^*$ समुच्चय $\{\alpha(\theta) : \theta \in [0, 2\pi)\}$ का न्यूनतम मान है और $\beta^*$ समुच्चय $\{\beta(\theta) : \theta \in [0, 2\pi)\}$ का न्यूनतम मान है,तो $\alpha^* + \beta^*$ का मान ज्ञात कीजिए।

कुछ $\alpha, \beta \in R$ के लिए, मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} \alpha & 2 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & \beta \end{bmatrix}$ इस प्रकार हैं कि $A^{2} - 4A + 2I = B^{2} - 3B + I = O$ है। तब $(\text{det}(\text{adj}(A^{3} - B^{3})))^{2}$ का मान .... है।

मान लीजिए $\alpha$ समीकरण $(a-c)x^2 + (b-a)x + (c-b) = 0$ का एक मूल है,जहाँ $a, b, c$ भिन्न वास्तविक संख्याएँ हैं और आव्यूह $\begin{bmatrix} \alpha^2 & \alpha & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \end{bmatrix}$ अव्युत्क्रमणीय (singular) है। तो $\frac{(a-c)^2}{(b-a)(c-b)} + \frac{(b-a)^2}{(a-c)(c-b)} + \frac{(c-b)^2}{(a-c)(b-a)}$ का मान ज्ञात कीजिए।