मान लीजिए A और B कोई दो n times n आव्यूह हैं | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि $A B = B A$,$A^k = I$,और $B^l = 0$ कुछ धनात्मक पूर्णांकों $k$ और $l$ के लिए।चूंकि $B^l = 0$,दोनों पक्षों का सारणिक (determinant) ले

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$\operatorname{det}(A B)=0$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है कि $A B = B A$,$A^k = I$,और $B^l = 0$ कुछ धनात्मक पूर्णांकों $k$ और $l$ के लिए।चूंकि $B^l = 0$,दोनों पक्षों का सारणिक (determinant) लेने पर,हमें $\operatorname{det}(B^l) = \operatorname{det}(0) = 0$ प्राप्त होता है।गुणधर्म $\operatorname{det}(B^l) = (\operatorname{det}(B))^l$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास $(\operatorname{det}(B))^l = 0$ है,जिसका अर्थ है कि $\operatorname{det}(B) = 0$ है।अब,गुणनफल $A B$ का सारणिक देखें:$\operatorname{det}(A B) = \operatorname{det}(A) 	imes \operatorname{det}(B)$।चूंकि $\operatorname{det}(B) = 0$,इसलिए $\operatorname{det}(A B) = \operatorname{det}(A) 	imes 0 = 0$ होता है।अतः,सही विकल्प $(b)$ है।

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