मान लीजिए कि $M$ और $N$ दो $3 \times 3$ नॉन-सिंगुलर विषम-सममित (skew-symmetric) आव्यूह हैं,इस प्रकार कि $MN = NM$ है। यदि $P^T$,$P$ का परिवर्त (transpose) दर्शाता है,तो $M^2 N^2 (M^T N)^{-1} (M N^{-1})^T$ किसके बराबर है?

मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix}$ और $B = A - I$ है। यदि $\omega = \frac{\sqrt{3}i - 1}{2}$ है, तो समुच्चय $\{n \in \{1, 2, \ldots, 100\} : A^n + (\omega B)^n = A + B\}$ में अवयवों की संख्या $..........$ है।

केवल $0$ या $1$ अवयवों वाले $2 \times 2$ क्रम के सभी सारणिकों के समुच्चय से एक सारणिक यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। चुने गए सारणिक के अशून्य होने की प्रायिकता क्या है?

मान लीजिए $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 7 \\ 4 & -2 & 8 \\ 3 & 8 & -7 \end{pmatrix}$ और $\det(A - \alpha I) = 0$, जहाँ $\alpha$ एक वास्तविक संख्या है। यदि $\alpha$ का अधिकतम संभव मान $p$ है, तो वृत्त $(x - p)^2 + (y - 2p)^2 = 320$ निर्देशांक अक्षों को कितने बिंदुओं पर काटता है ($\text{बिंदु}$ में)?

यदि $\alpha , \beta \neq 0$ और $f(n) = \alpha^n + \beta^n$ तथा $\begin{vmatrix} 3 & 1 + f(1) & 1 + f(2) \\ 1 + f(1) & 1 + f(2) & 1 + f(3) \\ 1 + f(2) & 1 + f(3) & 1 + f(4) \end{vmatrix} = K(1 - \alpha)^2 (1 - \beta)^2 (\alpha - \beta)^2$ है,तो $K = \dots$

यदि ${a^2} + {b^2} + {c^2} = -2$ और $f(x) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{1 + {a^2}x}&{(1 + {b^2})x}&{(1 + {c^2})x}\\{(1 + {a^2})x}&{1 + {b^2}x}&{(1 + {c^2})x}\\{(1 + {a^2})x}&{(1 + {b^2})x}&{1 + {c^2}x}\end{array}} \right|$ है,तो $f(x)$ किस घात का बहुपद है?