यदि $A = \begin{bmatrix} -1 & x & -3 \\ 2 & 4 & z \\ y & 5 & -6 \end{bmatrix}$ एक सममित आव्यूह है और $B = \begin{bmatrix} 0 & 2 & q \\ p & 0 & -4 \\ -3 & r & s \end{bmatrix}$ एक विषम-सममित आव्यूह है,तो $|A| + |B| - |AB| = $

$-3 x^4 + \operatorname{det}\begin{bmatrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & x^2 & x^4 \\ 1 & x^3 & x^6 \end{bmatrix} = 0$ को संतुष्ट करने वाले पूर्णांकों $x$ की संख्या क्या है?

मान लीजिए $A=I_2-2 MM^{T}$,जहाँ $M$ क्रम $2 \times 1$ का एक वास्तविक आव्यूह है ताकि संबंध $M^T M=I_1$ सत्य हो। यदि $\lambda$ एक ऐसी वास्तविक संख्या है कि $2 \times 1$ क्रम के किसी शून्येतर वास्तविक आव्यूह $X$ के लिए संबंध $AX=\lambda X$ सत्य है,तो $\lambda$ के सभी संभावित मानों के वर्गों का योग किसके बराबर है?

$3$ क्रम के एक वर्ग आव्यूह $A$ में,$a_{ii} = i + m_i$,जहाँ $i = 1, 2, 3$ और $m_i$ परवलय $y^2 = 4x$ के बिंदु $(9, -6)$ पर संगामी $3$ अभिलंबों की प्रवणताएँ हैं (उनके निरपेक्ष मान के बढ़ते क्रम में)। आव्यूह के अन्य सभी प्रविष्टियाँ $1$ हैं। $\det(A)$ का मान ज्ञात कीजिए।

कुछ $\alpha, \beta \in R$ के लिए, मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} \alpha & 2 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & \beta \end{bmatrix}$ इस प्रकार हैं कि $A^{2} - 4A + 2I = B^{2} - 3B + I = O$ है। तब $(\text{det}(\text{adj}(A^{3} - B^{3})))^{2}$ का मान .... है।

मान लीजिए कि आव्यूह $A$ और $B$ इस प्रकार परिभाषित हैं: $A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 7 & 3 \end{bmatrix}$. तो $\det(2A^9B^{-1})$ का मान ज्ञात कीजिए।