જો $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} \cos(x+a+b) & \sin(x+a+b) & 10 \\ \cos(x+b+c) & \sin(x+b+c) & 10 \\ \cos(x+c+a) & \sin(x+c+a) & 10 \end{array} \right|$ હોય,તો $f(2019)^{f(2020)} - f(2020)^{f(2019)}$ ની કિંમત શોધો.

અમુક $a, b$ માટે,ધારો કે $f(x) = \left|\begin{array}{ccc} a+\frac{\sin x}{x} & 1 & b \\ a & 1+\frac{\sin x}{x} & b \\ a & 1 & b+\frac{\sin x}{x} \end{array}\right|, \quad x \neq 0$. જો $\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = \lambda + \mu a + \nu b$ હોય,તો $(\lambda + \mu + \nu)^2$ ની કિંમત શોધો:

જો $\alpha, \beta, \text{ અને } \gamma$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોય,તો $D = \begin{vmatrix} 1 & \cos(\beta - \alpha) & \cos(\gamma - \alpha) \\ \cos(\alpha - \beta) & 1 & \cos(\gamma - \beta) \\ \cos(\alpha - \gamma) & \cos(\beta - \gamma) & 1 \end{vmatrix} = $

શ્રેણિક $A=\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & -2 \\ -4 & 4 & 0 & 8 \\ -2 & 1 & 2 & 4 \end{bmatrix}$ નો નિશ્ચાયક (Rank) શોધો.

જો $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 2 \cos^2 x & \sin 2x & \sin x \\ \sin 2x & 2 \sin^2 x & -\cos x \\ \sin x & -\cos x & 0 \end{array} \right|$ હોય, તો $\int_0^{\frac{\pi}{4}} (2|f(x)| + 5f'(x)) \, dx$ ની કિંમત શોધો.

એક શ્રેણિક $A$ માં,જો $k$ કક્ષાના તમામ ઉપ-શ્રેણિકો અસામાન્ય (singular) હોય અને $r$ $(r < k)$ કક્ષાનો એક અસામાન્ય ન હોય તેવો (non-singular) ઉપ-શ્રેણિક અસ્તિત્વ ધરાવતો હોય,તો શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક $(\rho)$: