यदि $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -2 & -5 \end{bmatrix}$ और कुछ $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ के लिए $\alpha A^2 + \beta A = 2I$ है,तो $\alpha + \beta =$

$\alpha, \beta \in R$ और एक प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए,मान लीजिए $A_r = \begin{vmatrix} r & 1 & \frac{n^2}{2} + \alpha \\ 2r & 2 & n^2 - \beta \\ 3r - 2 & 3 & \frac{n(3n - 1)}{2} \end{vmatrix}$. तो $2A_{10} - A_8$ का मान ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित गणितीय कथनों को ध्यानपूर्वक पढ़ें:
$I$. ऐसे दो त्रिभुज हो सकते हैं कि एक त्रिभुज की सभी भुजाएँ $1 \text{ cm}$ से कम हों जबकि दूसरे त्रिभुज की सभी भुजाएँ $10 \text{ m}$ से बड़ी हों,लेकिन पहले त्रिभुज का क्षेत्रफल दूसरे त्रिभुज के क्षेत्रफल से अधिक हो।
$II$. यदि $x, y, z$ सभी अलग-अलग वास्तविक संख्याएँ हैं,तो $\frac{1}{(x - y)^2} + \frac{1}{(y - z)^2} + \frac{1}{(z - x)^2} = \left( \frac{1}{x - y} + \frac{1}{y - z} + \frac{1}{z - x} \right)^2$.
$III$. $\log_3 x \cdot \log_4 x \cdot \log_5 x = (\log_3 x \cdot \log_4 x) + (\log_4 x \cdot \log_5 x) + (\log_5 x \cdot \log_3 x)$ केवल $x$ के एक वास्तविक मान के लिए सत्य है।
$IV$. एक आव्यूह में $12$ अवयव हैं। इसकी संभावित कोटियों की संख्या $6$ है। अब सही विकल्प इंगित करें।

किसी भी $3 \times 3$ आव्यूह $M$ के लिए,$|M|$ को $M$ का सारणिक मानें। $I$ को $3 \times 3$ तत्समक आव्यूह मानें। $E$ और $F$ दो $3 \times 3$ आव्यूह इस प्रकार हैं कि $(I-EF)$ व्युत्क्रमणीय है। यदि $G=(I-EF)^{-1}$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन $TRUE$ है?
$(A) |FE|=|I-FE||FGE|$
$(B) |I-FE|(I+FGE)=I$
$(C) EFG=GEF$
$(D) (I-FE)(I-FGE)=I$

मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & -1 \\ 0 & 12 & -3 \end{bmatrix}$ है। तो आव्यूह $(A + I)^{11}$ के विकर्ण तत्वों का योग क्या होगा?

मान लीजिए कि $\alpha$ समीकरण $x^{2}+x+1=0$ का एक मूल है और आव्यूह $A=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & \alpha^{2} \\ 1 & \alpha^{2} & \alpha^{4} \end{bmatrix}$ है,तो आव्यूह $A^{31}$ किसके बराबर है?