यदि sec ^{-1} frac{x}{a}-sec ^{-1} frac{x}{b} | vedclass

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Question

(A) दिया है: $\sec ^{-1} \left(\frac{x}{a}\right)-\sec ^{-1} \left(\frac{x}{b}\right)=\sec ^{-1} b-\sec ^{-1} a$$\sec ^{-1} z = \cos ^{-1} \left(\frac

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$a b$

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(A) दिया है: $\sec ^{-1} \left(\frac{x}{a}\right)-\sec ^{-1} \left(\frac{x}{b}\right)=\sec ^{-1} b-\sec ^{-1} a$$\sec ^{-1} z = \cos ^{-1} \left(\frac{1}{z}\right)$ का उपयोग करने पर:$\cos ^{-1} \left(\frac{a}{x}\right)-\cos ^{-1} \left(\frac{b}{x}\right)=\cos ^{-1} \left(\frac{1}{b}\right)-\cos ^{-1} \left(\frac{1}{a}\right)$सूत्र $\cos ^{-1} u - \cos ^{-1} v = \cos ^{-1} \left(uv + \sqrt{1-u^2}\sqrt{1-v^2}\right)$ का उपयोग करने पर:$\frac{a b}{x^2} + \sqrt{1-\frac{a^2}{x^2}}\sqrt{1-\frac{b^2}{x^2}} = \frac{1}{a b} + \sqrt{1-\frac{1}{b^2}}\sqrt{1-\frac{1}{a^2}}$$\frac{a b}{x^2} + \frac{\sqrt{(x^2-a^2)(x^2-b^2)}}{x^2} = \frac{1}{a b} + \frac{\sqrt{(b^2-1)(a^2-1)}}{a b}$दोनों पक्षों को $x^2 ab$ से गुणा करने पर:$a^2 b^2 + ab\sqrt{(x^2-a^2)(x^2-b^2)} = x^2 + x^2\sqrt{(a^2-1)(b^2-1)}$$ab\sqrt{(x^2-a^2)(x^2-b^2)} - x^2\sqrt{(a^2-1)(b^2-1)} = x^2 - a^2 b^2$समीकरण को संतुष्ट करने के लिए,$x^2 - a^2 b^2 = 0$ रखने पर,$x^2 = a^2 b^2$,अतः $x = ab$।

यदि $\sec ^{-1} \frac{x}{a}-\sec ^{-1} \frac{x}{b}=\sec ^{-1} b-\sec ^{-1} a$ है,तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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सिद्ध कीजिए कि $3 \cos ^{-1} x = \cos ^{-1} (4 x^{3} - 3 x)$,जहाँ $x \in [\frac{1}{2}, 1]$.

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