यदि f(x)=x^x है,तो वह अंतराल जिसमें f(x) ह्रा | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) दिया गया है $f(x) = x^x$। दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $\ln(f(x)) = x \ln(x)$ प्राप्त होता है।$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकल

Vedclass · Accepted Answer

$\left[0, \frac{1}{e}\right]$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $f(x) = x^x$। दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $\ln(f(x)) = x \ln(x)$ प्राप्त होता है।$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें $\frac{f'(x)}{f(x)} = \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x} = \ln(x) + 1$ प्राप्त होता है।अतः,$f'(x) = x^x(1 + \ln(x))$।$f(x)$ के ह्रासमान होने के लिए,$f'(x) \leq 0$ होना चाहिए।चूंकि सभी $x > 0$ के लिए $x^x > 0$ है,इसलिए $f'(x) \leq 0$ का अर्थ है $1 + \ln(x) \leq 0$।इससे $\ln(x) \leq -1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x \leq e^{-1} = \frac{1}{e}$।चूंकि $f(x) = x^x$ का प्रांत $x > 0$ है,इसलिए वह अंतराल जिसमें $f(x)$ ह्रासमान है,वह $\left(0, \frac{1}{e}\right]$ है।दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही अंतराल $\left[0, \frac{1}{e}\right]$ है।

यदि $f(x)=x^x$ है,तो वह अंतराल जिसमें $f(x)$ ह्रासमान (decreases) है,वह है

Similar Questions

फलन $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 2$ किस अंतराल में ह्रासमान (decreasing) है?

यदि $f(x) = x e^{x(1-x)}, x \in R$ है,तो $f(x)$ है

वह सबसे लंबा अंतराल जिसकी लंबाई में फलन $f(x) = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$ वर्धमान है,क्या है?

वह अंतराल जिसमें $y = -x^{2} + 6x - 3$ वर्धमान (increasing) है,वह है

निम्नलिखित में से कौन सा वर्धमान फलन (increasing function) है?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module