यदि int sqrt{frac{2}{1+sin x}} dx = 2 log |A( | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $I = \int \sqrt{\frac{2}{1+\sin x}} dx$. $\sin x = \cos(\frac{\pi}{2} - x)$ का उपयोग करने पर,$1 + \sin x = 1 + \cos(\frac{\pi}{2} - x)

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{\sqrt{3+2 \sqrt{2}}}$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है $I = \int \sqrt{\frac{2}{1+\sin x}} dx$. $\sin x = \cos(\frac{\pi}{2} - x)$ का उपयोग करने पर,$1 + \sin x = 1 + \cos(\frac{\pi}{2} - x) = 2 \cos^2(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})$। अतः,$\sqrt{\frac{2}{1+\sin x}} = \sqrt{\frac{2}{2 \cos^2(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})}} = \frac{1}{|\cos(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})|} = \sec(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})$। चूंकि $0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$,$\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}$ अंतराल $[0, \frac{\pi}{4}]$ में है,जहाँ $\cos$ धनात्मक है। अतः,$I = \int \sec(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}) dx = -2 \log |\sec(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}) + 	an(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})| + C$। $\sec 	heta + 	an 	heta = 	an(\frac{\pi}{4} + \frac{	heta}{2})$ का उपयोग करते हुए,इसे $2 \log |\sec(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}) + 	an(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4})| + C$ के रूप में लिखा जा सकता है। $2 \log |A(x) - B(x)|$ के साथ तुलना करने पर,$B(x) = -	an(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}) = 	an(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})$ प्राप्त होता है। तब $B(\frac{\pi}{4}) = 	an(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{8}) = 	an(\frac{\pi}{8})$। चूंकि $	an(\frac{\pi}{4}) = \frac{2 	an(\pi/8)}{1 - 	an^2(\pi/8)} = 1$,$y = 	an(\frac{\pi}{8})$ लेने पर,$2y = 1 - y^2 \Rightarrow y^2 + 2y - 1 = 0$। $y > 0$ के लिए हल करने पर,$y = \frac{-2 + \sqrt{4 + 4}}{2} = \sqrt{2} - 1$। अतः $B(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} - 1 = \frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{1}{\sqrt{(\sqrt{2} + 1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{3 + 2\sqrt{2}}}$।

यदि $\int \sqrt{\frac{2}{1+\sin x}} dx = 2 \log |A(x) - B(x)| + C$ और $0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ है,तो $B(\frac{\pi}{4}) = $

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