यदि I=int frac{sin x+sin ^3 x}{cos 2 x} ,d x= | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $I = \int \frac{\sin x + \sin^3 x}{\cos 2x} dx$. $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ का उपयोग करते हुए,$\sin x(1 + \sin^2 x) = \sin x(1 + 1 - \c

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$\frac{1}{2}, \frac{-3}{4 \sqrt{2}}$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है $I = \int \frac{\sin x + \sin^3 x}{\cos 2x} dx$. $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ का उपयोग करते हुए,$\sin x(1 + \sin^2 x) = \sin x(1 + 1 - \cos^2 x) = \sin x(2 - \cos^2 x)$. अतः,$I = \int \frac{\sin x(2 - \cos^2 x)}{2 \cos^2 x - 1} dx$. माना $\cos x = t$,तो $-\sin x dx = dt$,अर्थात $\sin x dx = -dt$. $I = \int \frac{t^2 - 2}{2t^2 - 1} (-dt) = \int \frac{2 - t^2}{2t^2 - 1} dt$. $I = \frac{1}{2} \int \frac{4 - 2t^2}{2t^2 - 1} dt = \frac{1}{2} \int \frac{-(2t^2 - 1) + 3}{2t^2 - 1} dt$. $I = \frac{1}{2} \int (-1 + \frac{3}{2t^2 - 1}) dt = \frac{1}{2} [-t + \frac{3}{2\sqrt{2}} \log |\frac{\sqrt{2}t - 1}{\sqrt{2}t + 1}|] + c$. $I = -\frac{1}{2} \cos x + \frac{3}{4\sqrt{2}} \log |\frac{\sqrt{2} \cos x - 1}{\sqrt{2} \cos x + 1}| + c$. $P \cos x + Q \log |\frac{\sqrt{2} \cos x - 1}{\sqrt{2} \cos x + 1}| + c$ के साथ तुलना करने पर,हमें $P = -\frac{1}{2}$ और $Q = \frac{3}{4\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।

यदि $I=\int \frac{\sin x+\sin ^3 x}{\cos 2 x} \,d x=P \cos x+Q \log \left|\frac{\sqrt{2} \cos x-1}{\sqrt{2} \cos x+1}\right|+c,$ (जहाँ $c$ समाकलन का एक स्थिरांक है),तो $P$ और $Q$ के मान क्रमशः क्या हैं?

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यदि $f(x) = \int \frac{x^2 + \sin^2 x}{1 + x^2} \cdot \sec^2 x \, dx$ और $f(0) = 0$ है,तो $f(1) = $

$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^{n+1} x \, dx + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \tan^{n-1} \left( \frac{x}{2} \right) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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