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Question

(B) माना $I = \int {\left[ {\log (\log x) + \frac{1}{{{{(\log x)}^2}}}} \right]\,dx}$ है।हम समाकलन को $I = \int {\log (\log x)\,dx + \int {\frac{1}{{{

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$x\log (\log x) - \frac{x}{{\log x}} + c$

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(B) माना $I = \int {\left[ {\log (\log x) + \frac{1}{{{{(\log x)}^2}}}} \right]\,dx}$ है।हम समाकलन को $I = \int {\log (\log x)\,dx + \int {\frac{1}{{{{(\log x)}^2}}}} \,dx}$ के रूप में विभाजित कर सकते हैं।प्रथम पद $\int {\log (\log x)\,dx}$ के लिए खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = \log (\log x)$ और $dv = dx$ लें। तब $du = \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x} dx$ और $v = x$ प्राप्त होता है।अतः,$\int {\log (\log x)\,dx} = x \log (\log x) - \int {x \cdot \frac{1}{x \log x} \,dx} = x \log (\log x) - \int {\frac{1}{\log x} \,dx}$।अब,$\int {\frac{1}{\log x} \,dx}$ के लिए खंडशः समाकलन का उपयोग करें। $u = \frac{1}{\log x}$ और $dv = dx$ लें। तब $du = -\frac{1}{(\log x)^2} \cdot \frac{1}{x} dx$ और $v = x$ प्राप्त होता है।इस प्रकार,$\int {\frac{1}{\log x} \,dx} = \frac{x}{\log x} - \int {x \cdot \left( -\frac{1}{x(\log x)^2} \right) \,dx} = \frac{x}{\log x} + \int {\frac{1}{(\log x)^2} \,dx}$।इस मान को $I$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:$I = x \log (\log x) - \left( \frac{x}{\log x} + \int {\frac{1}{(\log x)^2} \,dx} \right) + \int {\frac{1}{(\log x)^2} \,dx}$।$I = x \log (\log x) - \frac{x}{\log x} + c$।

$\int {\left[ {\log (\log x) + \frac{1}{{{{(\log x)}^2}}}} \right]} \;dx = $

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$\int {e^{x/2}} \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \, dx = $

समाकलन $\int \frac{\log x - (\log x)^2 + x^2}{x^3} dx$ का मान ज्ञात कीजिए (जहाँ $C$ समाकलन स्थिरांक है)।

$\int \frac{\sin x+8 \cos x}{4 \sin x+6 \cos x} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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