I = int_{0}^{frac{pi}{4}} tan^{n+1} x , dx + | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $I = \int_{0}^{\pi/4} 	an^{n+1} x \, dx + \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/2} 	an^{n-1} \left( \frac{x}{2} ight) \, dx$। दूसरे समाकलन में

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$\frac{1}{n}$

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(A) दिया गया है $I = \int_{0}^{\pi/4} 	an^{n+1} x \, dx + \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/2} 	an^{n-1} \left( \frac{x}{2} ight) \, dx$। दूसरे समाकलन में, $t = \frac{x}{2}$ रखने पर, $dx = 2 \, dt$ प्राप्त होता है। जब $x = 0$, तो $t = 0$ और जब $x = \pi/2$, तो $t = \pi/4$। इन मानों को दूसरे समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int_{0}^{\pi/4} 	an^{n+1} x \, dx + \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/4} 	an^{n-1} t \cdot (2 \, dt) = \int_{0}^{\pi/4} 	an^{n+1} x \, dx + \int_{0}^{\pi/4} 	an^{n-1} x \, dx$। $I = \int_{0}^{\pi/4} 	an^{n-1} x (	an^2 x + 1) \, dx$। चूंकि $	an^2 x + 1 = \sec^2 x$, इसलिए $I = \int_{0}^{\pi/4} 	an^{n-1} x \sec^2 x \, dx$। $u = 	an x$ रखने पर, $du = \sec^2 x \, dx$ प्राप्त होता है। जब $x = 0$, तो $u = 0$ और जब $x = \pi/4$, तो $u = 1$। $I = \int_{0}^{1} u^{n-1} \, du = \left[ \frac{u^n}{n} ight]_{0}^{1} = \frac{1}{n}$।

$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^{n+1} x \, dx + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \tan^{n-1} \left( \frac{x}{2} \right) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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