यदि int frac{3-x^2}{1-2 x+x^2} e^x d x=e^x f( | vedclass

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Question

(A) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{3-x^2}{1-2 x+x^2} e^x d x$ है।चूँकि $1-2x+x^2 = (1-x)^2$,हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:$I = \int \frac{3-x^

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$\frac{1+x}{1-x}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{3-x^2}{1-2 x+x^2} e^x d x$ है।चूँकि $1-2x+x^2 = (1-x)^2$,हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:$I = \int \frac{3-x^2}{(1-x)^2} e^x d x$अंश को $f(x) + f'(x)$ के रूप में व्यवस्थित करने पर:$I = \int \frac{2 + 1 - x^2}{(1-x)^2} e^x d x = \int \left( \frac{2}{(1-x)^2} + \frac{1-x^2}{(1-x)^2} \right) e^x d x$$I = \int \left( \frac{2}{(1-x)^2} + \frac{(1-x)(1+x)}{(1-x)^2} \right) e^x d x$$I = \int \left( \frac{2}{(1-x)^2} + \frac{1+x}{1-x} \right) e^x d x$माना $f(x) = \frac{1+x}{1-x}$ है। तब $f'(x) = \frac{(1-x)(1) - (1+x)(-1)}{(1-x)^2} = \frac{1-x+1+x}{(1-x)^2} = \frac{2}{(1-x)^2}$ होगा।हम जानते हैं कि $\int (f(x) + f'(x)) e^x d x = e^x f(x) + c$,अतः:$I = e^x \left( \frac{1+x}{1-x} \right) + c$.दिए गए व्यंजक $e^x f(x) + c$ से तुलना करने पर,हमें $f(x) = \frac{1+x}{1-x}$ प्राप्त होता है।

यदि $\int \frac{3-x^2}{1-2 x+x^2} e^x d x=e^x f(x)+c$ है,तो $f(x)$ ज्ञात कीजिए।

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