यदि m, n in N के लिए a=2n और b=2m+1 है,तो समा | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $a=2n$ और $b=2m+1$ जहाँ $m, n \in N$ है। माना $I = \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx$,जहाँ $f(x) = e^{\sin^a x} \cdot \cot^b((2n+1)x)$ है।

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(A) दिया गया है कि $a=2n$ और $b=2m+1$ जहाँ $m, n \in N$ है। माना $I = \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx$,जहाँ $f(x) = e^{\sin^a x} \cdot \cot^b((2n+1)x)$ है। हम फलन $f(x)$ की समता (parity) की जाँच करते हैं: $f(-x) = e^{\sin^a(-x)} \cdot \cot^b((2n+1)(-x))$। चूँकि $a=2n$ एक सम संख्या है,$\sin^a(-x) = (\sin(-x))^a = (-\sin x)^a = \sin^a x$। चूँकि $b=2m+1$ एक विषम संख्या है,$\cot^b((2n+1)(-x)) = (\cot(-(2n+1)x))^b = (-\cot((2n+1)x))^b = -\cot^b((2n+1)x)$। अतः,$f(-x) = e^{\sin^a x} \cdot (-\cot^b((2n+1)x)) = -f(x)$। चूँकि $f(x)$ एक विषम फलन है,इसलिए सममित अंतराल $[-\pi, \pi]$ पर इसका समाकलन शून्य होगा। अतः,$I = 0$।

यदि $m, n \in N$ के लिए $a=2n$ और $b=2m+1$ है,तो समाकलन $\int_{-\pi}^{\pi} e^{\sin^a x} \cot^b((2n+1)x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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