यदि $(\bar{i}+\bar{j}+\bar{k})$,$(\bar{i}+2\bar{j}+3\bar{k})$ और $(2\bar{i}-\bar{j}+\bar{k})$ क्रमशः $\triangle ABC$ के शीर्षों $A, B$ और $C$ के स्थिति सदिश हैं,तो $A$ से गुजरने वाले शीर्षलंब का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $\theta$ सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण है,जहाँ $|\vec{a}|=4, |\vec{b}|=3$ और $\theta \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}\right)$ है। तो $|(\vec{a}-\vec{b}) \times (\vec{a}+\vec{b})|^{2} + 4(\vec{a} \cdot \vec{b})^{2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक समांतर चतुर्भुज की एक भुजा और एक विकर्ण क्रमशः $3 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ और $2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$ द्वारा निरूपित हैं,तो समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल वर्ग इकाइयों में क्या है?

यदि $\vec{a}=\overrightarrow{0}$ या $\vec{b}=\overrightarrow{0}$ है,तो $\vec{a} \times \vec{b}=\overrightarrow{0}$ होता है। क्या इसका विलोम सत्य है? एक उदाहरण देकर अपने उत्तर का औचित्य सिद्ध कीजिए।

माना $\overrightarrow{a}=a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k}$.
अभिकथन $(A)$ : सर्वसमिका $|\overrightarrow{a} \times \hat{i}|^2+|\overrightarrow{a} \times \hat{j}|^2+|\overrightarrow{a} \times \hat{k}|^2=2|\overrightarrow{a}|^2$,$\overrightarrow{a}$ के लिए सत्य है।
तर्क $(R)$ : $\overrightarrow{a} \times \hat{i}=a_3 \hat{j}-a_2 \hat{k}$,$\overrightarrow{a} \times \hat{j}=a_1 \hat{k}-a_3 \hat{i}$,और $\overrightarrow{a} \times \hat{k}=a_2 \hat{i}-a_1 \hat{j}$.
निम्नलिखित में से कौन सा सही है?

बिंदुओं $A(1, -1, 2)$,$B(2, 0, -1)$ और $C(0, 2, 1)$ द्वारा निर्धारित समतल के लंबवत इकाई सदिश हैं: