यदि $\vec{a}, \vec{b}, \text{ और } \vec{c}$ असमतलीय सदिश हैं,तो बिंदुओं $2 \vec{a}+3 \vec{b}-\vec{c}$ और $3 \vec{a}+4 \vec{b}-2 \vec{c}$ से गुजरने वाली रेखा और बिंदुओं $\vec{a}-2 \vec{b}+3 \vec{c}$ और $\vec{a}-6 \vec{b}+6 \vec{c}$ को जोड़ने वाली रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।

माना $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ $3$ सदिश इस प्रकार हैं कि $|\vec{a}|=3, |\vec{b}|=2\sqrt{2}, |\vec{c}|=5$ और $\vec{c}$, $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के समतल के लंबवत है। यदि सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{4}$ है, तो $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|=$

मान लीजिए कि दो गैर-संरेख इकाई सदिश $\hat{a}$ और $\hat{b}$ एक न्यून कोण बनाते हैं। एक बिंदु $P$ इस प्रकार गति करता है कि किसी भी समय $t$ पर स्थिति सदिश $\overline{OP}$ (जहाँ $O$ मूल बिंदु है) $\hat{a} \cos t + \hat{b} \sin t$ द्वारा दिया जाता है। जब $P$ मूल बिंदु $O$ से सबसे दूर होता है,तो $M$ को $\overline{OP}$ की लंबाई और $\hat{u}$ को $\overline{OP}$ की दिशा में इकाई सदिश मानें। तब,

त्रिभुज $ABC$ में,बिंदु $P$,$BC$ को $3:4$ के अनुपात में और $Q$,$CA$ को $5:3$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है। यदि $AP$ और $BQ$ एक बिंदु $G$ पर प्रतिच्छेद करते हैं,तो $G$,$AP$ को किस अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है?

मान लीजिए कि एक सदिश $\overrightarrow{a}=\sqrt{2}\hat{i}-\hat{j}+\lambda\hat{k}$, $\lambda>0$, सदिश $\overrightarrow{b}=-\lambda^{2}\hat{i}+4\sqrt{2}\hat{j}+4\sqrt{2}\hat{k}$ के साथ एक अधिक कोण बनाता है और धनात्मक $z$-अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाता है, जहाँ $\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{\pi}{2}$ है। यदि $\lambda$ के सभी संभावित मानों का समुच्चय $(\alpha, \beta)-\{\gamma\}$ है, तो $\alpha+\beta+\gamma$ का मान . . . . . . . है।

यदि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ इकाई सदिश हैं, इस प्रकार कि $\vec{a}$, $\vec{b}$ और $\vec{c}$ दोनों के लंबवत है, और $\vec{b}$ तथा $\vec{c}$ के बीच का कोण $\frac{2 \pi}{3}$ है, तो $|\vec{a}+3 \vec{b}-4 \vec{c}|^2=$