यदि z = frac{-1-i sqrt{3}}{2} है,तो sum_{k=1} | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $z = \frac{-1-i \sqrt{3}}{2} = \omega$,जहाँ $\omega$ इकाई का सम्मिश्र घनमूल है। हम जानते हैं कि $\omega^3 = 1$ और $1 + \omega + \omega

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$4044$

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(C) दिया गया है $z = \frac{-1-i \sqrt{3}}{2} = \omega$,जहाँ $\omega$ इकाई का सम्मिश्र घनमूल है। हम जानते हैं कि $\omega^3 = 1$ और $1 + \omega + \omega^2 = 0$ होता है। साथ ही,$\frac{1}{\omega} = \omega^2$ है। व्यंजक $\sum_{k=1}^{2022} (\omega^k + \omega^{2k})^2 = \sum_{k=1}^{2022} (\omega^{2k} + \omega^{4k} + 2\omega^{3k})$ है। चूंकि $\omega^{3k} = 1$,यह $\sum_{k=1}^{2022} (\omega^{2k} + \omega^k + 2)$ बन जाता है। योग को अलग करने पर: $\sum_{k=1}^{2022} \omega^{2k} + \sum_{k=1}^{2022} \omega^k + \sum_{k=1}^{2022} 2$। चूंकि $2022$,$3$ का गुणज है,इसलिए $3$ पदों पर $\omega$ की घातों का योग $0$ होता है। अतः,$\sum_{k=1}^{2022} \omega^k = 0$ और $\sum_{k=1}^{2022} \omega^{2k} = 0$ है। कुल योग $0 + 0 + 2 	imes 2022 = 4044$ है।

यदि $z = \frac{-1-i \sqrt{3}}{2}$ है,तो $\sum_{k=1}^{2022} \left(z^k + \frac{1}{z^k}\right)^2 = $

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