જો z = frac{-1-i sqrt{3}}{2} હોય,તો sum_{k=1} | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ છે કે $z = \frac{-1-i \sqrt{3}}{2} = \omega$,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે. આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega^3 = 1$ અને $1 + \omega + \omega

Vedclass · Accepted Answer

$4044$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ છે કે $z = \frac{-1-i \sqrt{3}}{2} = \omega$,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે. આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega^3 = 1$ અને $1 + \omega + \omega^2 = 0$. વળી,$\frac{1}{\omega} = \omega^2$. પદાવલિ $\sum_{k=1}^{2022} (\omega^k + \omega^{2k})^2 = \sum_{k=1}^{2022} (\omega^{2k} + \omega^{4k} + 2\omega^{3k})$ છે. $\omega^{3k} = 1$ હોવાથી,આ $\sum_{k=1}^{2022} (\omega^{2k} + \omega^k + 2)$ બને છે. સરવાળાને અલગ પાડતા: $\sum_{k=1}^{2022} \omega^{2k} + \sum_{k=1}^{2022} \omega^k + \sum_{k=1}^{2022} 2$. $2022$ એ $3$ નો ગુણક હોવાથી,$3$ પદો પર $\omega$ ની ઘાતનો સરવાળો $0$ થાય છે. તેથી,$\sum_{k=1}^{2022} \omega^k = 0$ અને $\sum_{k=1}^{2022} \omega^{2k} = 0$. કુલ સરવાળો $0 + 0 + 2 	imes 2022 = 4044$ થાય છે.

જો $z = \frac{-1-i \sqrt{3}}{2}$ હોય,તો $\sum_{k=1}^{2022} \left(z^k + \frac{1}{z^k}\right)^2 = $

Similar Questions

જો $n$ એ એક પૂર્ણાંક સંખ્યા હોય જેને $3$ વડે ભાગતા શેષ $1$ વધે,તો $(1+\sqrt{3}i)^n + (1-\sqrt{3}i)^n$ ની કિંમત શું થાય?

ધારો કે $\omega \neq 1$ એ એકમનું ઘનમૂળ છે. તો ગણ $\{|a + b\omega + c\omega^2|^2 : a, b, c \text{ એ ભિન્ન શૂન્યતર પૂર્ણાંકો છે}\}$ ની ન્યૂનતમ કિંમત કેટલી થાય?

જો $z$ એ $x^7=1$ નું અવાસ્તવિક બીજ હોય,તો $1+3z+5z^2+7z^3+9z^4+11z^5+13z^6=$

જો $x^{2}+x+1=0$ હોય, તો $(x+\frac{1}{x})^{4}+(x^{2}+\frac{1}{x^{2}})^{4}+(x^{3}+\frac{1}{x^{3}})^{4}+\dots+(x^{25}+\frac{1}{x^{25}})^{4}$ નું મૂલ્ય શું છે?

જો $\frac{1}{x} + x = 2\cos \theta$ હોય,તો ${x^n} + \frac{1}{{{x^n}}}$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module