यदि f(x) = tan^{-1}left(frac{sqrt{1+x}-sqrt{1 | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $f(x) = 	an^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}ight)$.माना $x = \cos 2	heta$,तो $1+x = 2\cos^2	heta$ और

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$\frac{1}{\sqrt{3}}$

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(D) दिया गया है $f(x) = 	an^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}ight)$.माना $x = \cos 2	heta$,तो $1+x = 2\cos^2	heta$ और $1-x = 2\sin^2	heta$.$f(x) = 	an^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}\cos	heta - \sqrt{2}\sin	heta}{\sqrt{2}\cos	heta + \sqrt{2}\sin	heta}ight) = 	an^{-1}\left(\frac{1-	an	heta}{1+	an	heta}ight) = 	an^{-1}\left(	an(\frac{\pi}{4}-	heta)ight) = \frac{\pi}{4}-	heta$.चूंकि $x = \cos 2	heta$,$	heta = \frac{1}{2}\cos^{-1}x$,इसलिए $f(x) = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\cos^{-1}x$.सीमा $\lim_{x ightarrow \frac{1}{2}} \frac{2[f(x)-f(\frac{1}{2})]}{2x-1} = \lim_{x ightarrow \frac{1}{2}} \frac{f(x)-f(\frac{1}{2})}{x-\frac{1}{2}} = f'(\frac{1}{2})$.$f'(x) = -\frac{1}{2} \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}ight) = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}$.$f'(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2\sqrt{1-(\frac{1}{2})^2}} = \frac{1}{2\sqrt{3/4}} = \frac{1}{2(\frac{\sqrt{3}}{2})} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

यदि $f(x) = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}\right)$ है,तो $\lim_{x \rightarrow \frac{1}{2}} \frac{2[f(x)-f(\frac{1}{2})]}{2x-1} = $

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यदि $y = \tan(\cos^{-1} x)$ है, तो $\frac{dy}{dx}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2-16}{x-4} & \text{यदि } x > 4 \\ 2x & \text{यदि } x \leq 4 \end{cases}$ है,तो $f^{\prime}(4^{-}) + f^{\prime}(4^{+}) = $

मान लीजिए कि $f$ एक अवकलनीय फलन है,इस प्रकार कि $f(1) = 2$ और सभी $x \in R$ के लिए $f'(x) = f(x)$ है। यदि $h(x) = f(f(x))$ है,तो $h'(1)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = \frac{g(x) + g(-x)}{2} + \frac{2}{[h(x) + h(-x)]^{-1}}$,जहाँ $g$ और $h$ अवकलनीय फलन हैं,तो $f^{\prime}(0)$ ज्ञात कीजिए।

अवकलनीय फलन $f: R - \{0\} \rightarrow R$ के लिए,मान लीजिए $3 f(x) + 2 f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x} - 10$ है,तो $\left|f(3) + f^{\prime}\left(\frac{1}{4}\right)\right|$ का मान ज्ञात कीजिए।

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