यदि $K = \left|\begin{array}{ll}3 & 4 \\ 5 & 4\end{array}\right| + \left|\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 5 & 4\end{array}\right| + \left|\begin{array}{cc}\frac{1}{3} & \frac{1}{4} \\ 5 & 4\end{array}\right| + \left|\begin{array}{cc}\frac{1}{9} & -\frac{1}{16} \\ 5 & 4\end{array}\right| + \ldots \infty \text{ तक}$, तो $K = $

मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix}$ और $B = A - I$ है। यदि $\omega = \frac{\sqrt{3}i - 1}{2}$ है, तो समुच्चय $\{n \in \{1, 2, \ldots, 100\} : A^n + (\omega B)^n = A + B\}$ में अवयवों की संख्या $..........$ है।

यदि $A = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} x & 0 \\ 0 & y \end{bmatrix}$,जहाँ $x, y \in \mathbb{N}$,तो:

मान लीजिए $R = \begin{bmatrix} x & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & z \end{bmatrix}$ एक शून्येतर $3 \times 3$ आव्यूह है,जहाँ $x \sin \theta = y \sin \left(\theta + \frac{2 \pi}{3}\right) = z \sin \left(\theta + \frac{4 \pi}{3}\right) \neq 0$,$\theta \in (0, 2 \pi)$ है। एक वर्ग आव्यूह $M$ के लिए,$\text{trace}(M)$ आव्यूह $M$ के सभी विकर्ण अवयवों का योग दर्शाता है। तब,कथनों में से:
$(I) \text{ Trace}(R) = 0$
$(II) \text{ यदि trace}(\text{adj}(\text{adj}(R))) = 0, \text{ तो } R \text{ में केवल एक शून्येतर अवयव है।}$

यदि $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 3 \end{bmatrix}$ है,तो सिद्ध कीजिए कि $A^{3} - 6A^{2} + 7A + 2I = 0$ है।

यदि $A = \begin{bmatrix} p & q & r \\ r & p & q \\ q & r & p \end{bmatrix}$ और $A A^T = I$ है,तो $p^3 + q^3 + r^3 =$ . . . . . .