यदि $p = \frac{b \times c}{[a, b, c]}, q = \frac{c \times a}{[a, b, c]}, r = \frac{a \times b}{[a, b, c]}$,जहाँ $a, b, c$ तीन असमतलीय सदिश हैं,तो $(a + b + c) \cdot (p + q + r)$ का मान क्या होगा?

बिंदु $A(4, 5, 1)$,$B(0, -1, -1)$,$C(3, 9, 4)$ और $D(-4, 4, 4)$ हैं:

कथन-$1$: सदिश $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ समतलीय (coplanar) होते हैं यदि और केवल यदि $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$ हो।
कथन-$2$: सदिश $\vec{u}$ और $\vec{v}$ लंबवत होते हैं यदि और केवल यदि $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ हो,जहाँ $\vec{u} \times \vec{v}$ एक सदिश है जो $\vec{u}$ और $\vec{v}$ के तल के लंबवत है।

यदि $\overline{p}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ और $\overline{q}=\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$ है,तो सदिश $\overline{q}$ के लंबवत और $\overline{p}$ तथा $\overline{q}$ के साथ समतलीय $5 \sqrt{3}$ परिमाण वाला सदिश ज्ञात कीजिए।

यदि $[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}] = 0$ है,तो:

यदि $2i + 3j$,$i + j + k$ और $\lambda i + 4j + 2k$ एक क्रम में लिए गए एक समांतर षट्फलक (parallelepiped) के सह-आदि किनारे हैं जिसका आयतन $2$ घन इकाई है,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।