यदि $a = i - 2j + 3k$ और $b = 3i + j + 2k$ है,तो $a$ और $b$ के लंबवत इकाई सदिश क्या है?

मान लीजिए $\overrightarrow{OA}=2 \overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{OB}=6 \overrightarrow{a}+5 \overrightarrow{b}$ और $\overrightarrow{OC}=3 \overrightarrow{b}$,जहाँ $O$ मूल बिंदु है। यदि $\overrightarrow{OA}$ और $\overrightarrow{OC}$ आसन्न भुजाओं वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $15$ वर्ग इकाई है,तो चतुर्भुज $OABC$ का क्षेत्रफल (वर्ग इकाई में) किसके बराबर है:

यदि $A, B, C, D$ अंतरिक्ष में कोई भी चार बिंदु हैं, तो $|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CA} \times \overrightarrow{BD}|$ का मान ज्ञात कीजिए। (जहाँ $\Delta$, $\Delta ABC$ का क्षेत्रफल दर्शाता है) ($\Delta$ में)

यदि $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}, \bar{d}$ इकाई सदिश हैं ताकि $\bar{a} \cdot \bar{b} = \frac{1}{2}$,$\bar{c} \cdot \bar{d} = \frac{1}{2}$ और $\bar{a} \times \bar{b}$ तथा $\bar{c} \times \bar{d}$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{6}$ है,तो $|[\bar{a} \bar{b} \bar{d}] \bar{c} - [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] \bar{d}| = $ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\overrightarrow{a} = \alpha \hat{i} + 3 \hat{j} - \hat{k}$,$\overrightarrow{b} = 3 \hat{i} - \beta \hat{j} + 4 \hat{k}$ और $\overrightarrow{c} = \hat{i} + 2 \hat{j} - 2 \hat{k}$ जहाँ $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$,तीन सदिश हैं। यदि $\overrightarrow{a}$ का $\overrightarrow{c}$ पर प्रक्षेप $\frac{10}{3}$ है और $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c} = -6 \hat{i} + 10 \hat{j} + 7 \hat{k}$ है,तो $\alpha + \beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\overrightarrow{a}=2 \hat{i}-5 \hat{j}+8 \hat{k}$ और $\overrightarrow{b}=7 \hat{i}-5 \hat{j}+3 \hat{k}$ दो सदिश हैं और $(2 \overrightarrow{a}-3 \overrightarrow{b}) \times(4 \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$,तो $x+y+z=$